в самом нижнем порядке по
в этом приближении
есть волна с плотностью
и плотностью потока
Составляя отношение плотности рассеянного потока в телесном угле
и плотности падающего потока, получаем дифференциальное эффективное сечение рассеяния
Эта формула аналогична формуле (X. 2), относящейся к рассеянию на потенциале более короткого радиуса действия. Конечно, вышеприведенные рассуждения могут быть подвергнуты той же критике, что и в § X. 3, однако, нетрудно провести и более строгое доказательство, подобное выводу §§ 4—6 гл. X.
Функция
называется амплитудой кулоновского рассеяния. В явном виде она дается выражением (33). Отсюда получаем формулу для эффективного сечения кулоновского рассеяния:
Полученное строгое выражение, как видим, тождественно классической формуле эффективного сечения кулоновского рассеяния, полученной в гл. VI (уравнение (VI. 29)): классическая формула Резерфорда остается верной, даже когда классическое приближение перестает быть справедливым. Это следует рассматривать как случайное совпадение.
Из формулы (36) находим следующие замечательные свойства эффективного сечения кулоновского рассеяния:
а) оно зависит только от абсолютного значения потенциала, но не от его знака;
б) угловое распределение не зависит от энергии;
в) при заданном угле эффективное сечение при возрастании энергии падает как
г) полное эффективное сечение бесконечно: интеграл
расходится при малых углах.
Эта расходимость характерна для чисто кулоновского поля. На опыте такое поле не встречается никогда; так, при рассеянии заряженной частицы на атомном ядре кулоновское поле ядра на больших расстояниях нейтрализуется полем электронов оболочек и потенциал обращается в нуль на расстояниях, достаточно больших по сравнению с радиусом атома. Эффект экранирования приводит к модификации рассеянной волны при малых углах, так что дифференциальное эффективное сечение более не расходится при 0 0. Можно показать, что указанное изменение волновой функции пренебрежимо мало при углах, превосходящих одновременно
(здесь а — радиус атома). При энергиях, обычно используемых в ядерной физике, эти предельные углы столь малы, что экранированием кулоновского поля можно полностью пренебречь.