§ 8. Формула Резерфорда

Волновая функция представляет стационарное состояние рассеяния для частицы с начальным импульсом направленным вдоль оси Мы знаем, что в случае потенциала, стремящегося к нулю не медленнее при аналогичное состояние рассеяния представляется волновой функцией с асимптотической формой

которая интерпретируется как сумма падающей и рассеянной расходящейся волн. Волновая функция также представляется в виде суммы двух членов асимптотические формы которых похожи соответственно на плоскую и расходящуюся волны.

Однако даже на бесконечно больших расстояниях от начала координат функция не может быть уподоблена плоской волне, ввиду присутствия фактора радиус действия кулоновского поля столь велик, что оно влияет на падающую волну даже в асимптотической области. Тем не менее, при очень больших отрицательных функция представляет волну с плотностью 1; причем соответствующая плотность потока

направлена по оси и равна (логарифмический член дает поправки порядка которыми можно пренебречь). Это оправдывает истолкование как падающей волны.

Аналогичным образом радиальная зависимость функции при очень больших выражается не формой характерной для расходящихся волн, но более сложным выражением Однако в асимптотической области (кроме близкой окрестности полуоси положительных где разделение на падающую и рассеянную волны не имеет смысла) функцию можно интерпретировать как рассеянную волну, так как вектор плотности потока вычисленный с этой функцией, действительно направлен по радиусу в направлении возрастающих а влиянием фактора можно пренебречь

в самом нижнем порядке по в этом приближении есть волна с плотностью и плотностью потока

Составляя отношение плотности рассеянного потока в телесном угле и плотности падающего потока, получаем дифференциальное эффективное сечение рассеяния

Эта формула аналогична формуле (X. 2), относящейся к рассеянию на потенциале более короткого радиуса действия. Конечно, вышеприведенные рассуждения могут быть подвергнуты той же критике, что и в § X. 3, однако, нетрудно провести и более строгое доказательство, подобное выводу §§ 4—6 гл. X.

Функция называется амплитудой кулоновского рассеяния. В явном виде она дается выражением (33). Отсюда получаем формулу для эффективного сечения кулоновского рассеяния:

Полученное строгое выражение, как видим, тождественно классической формуле эффективного сечения кулоновского рассеяния, полученной в гл. VI (уравнение (VI. 29)): классическая формула Резерфорда остается верной, даже когда классическое приближение перестает быть справедливым. Это следует рассматривать как случайное совпадение.

Из формулы (36) находим следующие замечательные свойства эффективного сечения кулоновского рассеяния:

а) оно зависит только от абсолютного значения потенциала, но не от его знака;

б) угловое распределение не зависит от энергии;

в) при заданном угле эффективное сечение при возрастании энергии падает как

г) полное эффективное сечение бесконечно: интеграл расходится при малых углах.

Эта расходимость характерна для чисто кулоновского поля. На опыте такое поле не встречается никогда; так, при рассеянии заряженной частицы на атомном ядре кулоновское поле ядра на больших расстояниях нейтрализуется полем электронов оболочек и потенциал обращается в нуль на расстояниях, достаточно больших по сравнению с радиусом атома. Эффект экранирования приводит к модификации рассеянной волны при малых углах, так что дифференциальное эффективное сечение более не расходится при 0 0. Можно показать, что указанное изменение волновой функции пренебрежимо мало при углах, превосходящих одновременно (здесь а — радиус атома). При энергиях, обычно используемых в ядерной физике, эти предельные углы столь малы, что экранированием кулоновского поля можно полностью пренебречь.