§ 14. Лагранжева и гамильтонова формы уравнений к лассической механики

Имея в виду дальнейшее обсуждение формального соответствия между квантовой и классической теориями, полезно напомнить некоторые результаты классической аналитической механики.

В самом общем случае динамическое состояние классической системы определяется переменными положения, т. е. обобщенными координатами и переменными скорости, т. е. производными по времени обобщенных координат число степеней свободы системы обозначим буквой. Если мы имеем дело с системой из частиц, то в качестве переменных положения можно выбрать декартовых координат этих частиц, но все последующее справедливо и при другом

выборе координат. Положение системы в каждый момент времени может быть представлено в -мерном конфигурационном пространстве точкой М, имеющей координаты Задачей классической механики является нахождение законов эволюции системы во времени или, если угодно, законов движения точки М в конфигурационном пространстве.

Для очень большого числа динамических систем — только их мы и будем здесь рассматривать — законы движения можно написать, вводя некоторую функцию, характеризующую систему - функцию Лагранжа:

Координаты удовлетворяют дифференциальным уравнениям второго порядка (уравнениям Лагранжа):

Величины

называются обобщенными импульсами Лагранжа. В том случае, когда есть одна из декартовых координат частицы с массой а силы получаются из статического потенциала, величина есть соответствующая компонента количества движения этой частицы

Законы движения могут быть также выражены в форме вариационного принципа. Действительно, система уравнений Лагранжа эквивалентна принципу наименьшего действия (Мопертюи—Гамильтон):

смысл которого состоит в следующем: из всех законов движения позволяющих системе перейти из положения в момент времени в положение в момент времени в действительности реализуется тот, который соответствует минимуму и интеграла и

Другой чрезвычайно полезной формой выражения законов классической механики является каноническая форма Гамильтона. Заметим, что динамическое состояние классической системы в данный момент времени полностью определяется заданием ее обобщенных координат и обобщенных импульсов Удобно ввести пространство измерений, так называемое фазовое пространство, где

динамическое состояние представляется точкой Р с координатами и Если определить функцию Гамильтона формулой

то уравнения движения записываются в канонической форме:

Это дифференциальные уравнения первого порядка. Задания координат и импульсов в начальный момент времени достаточно для определения их значений в любой последующий момент времени. Таким образом, если Я не зависит явно от времени, то через каждую точку Р фазового пространства проходит одна и только одна траектория, представляющая возможное движение системы.

В обычном случае представляет собой разность между кинетической энергией Т (являющейся квадратичной функцией и потенциальной энергией V; функция есть полная энергия системы, представленная как функция и Однако формализм Лагранжа и Гамильтона применим при описании самого широкого класса динамических систем (см. задачу 4). Во всех случаях можно рассматривать как полную энергию системы. Из уравнений Гамильтона следует, что это значит, что если функция Гамильтона не зависит от времени явно, то полная энергия системы есть интеграл движения. Такие системы называются консервативными.

В качестве примера рассмотрим электрон в кулоновском поле протона (предполагаемого бесконечно тяжелым). Пусть есть радиус-вектор электрона в системе координат с началом в точке, где находится протон, — скорость, -импульс электрона. Функция Лагранжа есть

Обобщенный импульс электрона имеет компоненты которые равны составляющим его количества движения. Из функции Гамильтона

получаем уравнения Гамильтона

Пользуясь этими уравнениями, легко проверить, что момент импульса (количества движения) является интегралом движения: является следствием центрально-симметричного характера потенциала и что траектория электрона лежит в плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной постоянному вектору I.

Аналогично можно получить уравнения движения, используя всякую другую систему координат. Для траекторий, расположенных в плоскости в полярных координа получаем

откуда следуют уравнения Гамильтона:

равно абсолютной величине момента количества движения: это действительно интеграл движения.