§ 12. Гармонические осцилляторы в термодинамическом равновесии
Рассмотрим гармонический осциллятор, находящийся в термодинамическом равновесии с термостатом при температуре Т. Его динамическое состояние является смешанным и согласно закону Больцмана описывается матрицей плотности
Изучим свойства такого смешанного состояния.
Вычислим сначала статистическую сумму
Вычисление следа легко производится в представлении, где диагональна наблюдаемая 
откуда, суммируя геометрическую прогрессию в правой части уравнения, находим
Средняя энергия
получается из статистической суммы с учетом уравнения (VIII. 84). Имеем
откуда
Следовательно, для средней энергии квантового осциллятора получаем формулу Планка (с точностью до слагаемого 
При очень низких Температурах 
осциллятор почти с полной достоверностью находится в своем основном состоянии
При очень высоких температурах 
средняя энергия стремится к значению, определяемому классической статистикой Максвелла — Больцмана:
В качестве важного свойства квантового осциллятора в термодинамическом равновесии отметим следующую теорему Блоха.
Теорема. Распределение вероятности заданной комбинации 
координаты и импульса выражается законом Гаусса.
Чтобы доказать эту теорему, вычислим характеристическую функцию 
этого распределения. Функция 
по определению, есть среднее значение 
Вычислим этот след в представлении 
где оператор 
диагонален.
Найдем сначала величины
Имеем, учитывая (24—25),
где
Согласно тождеству (29)
откуда
Разлагая в ряд экспоненты и учитывая соотношение (20), получаем
В скалярном произведении этих двух векторов недиагональные члены 
двойной суммы все равны нулю по условиям ортогональности, так что остается
Обозначим
В представлении 
оператор 
диагоналей и 
элемент его матрицы равен
Из уравнений (53—57) находим
Эта двойная сумма может быть вычислена точно. Суммирование по 
производится с помощью разложения в ряд
Учитывая определения 
это можно записать в виде
где
Поскольку характеристическая функция распределения является гауссовой, само распределение также выражается законом Гаусса: это распределение со средним квадратичным отклонением а, что и требовалось доказать.
