§ 12. Комментарии и примеры

Мы показали, что статистическое распределение результатов измерения динамической переменной полностью определяется заданием волновой функции физической системы. Этот результат был получен в самом общем виде. Каждой динамичен ской переменной сопоставляется наблюдаемая А, т. е. эрмитов (самосопряженный) оператор, обладающий полной ортонормированной системой собственных функций. Отправляясь от естественного и формально очень простого постулата, касающегося

средних значений, мы показали, что единственно возможными результатами измерений являются собственные значения наблюдаемой А, а искомый закон распределения вероятностей непосредственно выражается через квадраты модулей коэффициентов разложения волновой функции по собственным функциям.

Среди наиболее часто встречающихся динамических переменных, помимо пространственных координат и импульса, следует упомянуть энергию, представляемую гамильтонианом Шредингера, и момент импульса.

Спектр энергии может быть в зависимости от физической ситуации дискретным (см. § III. 5), непрерывным (см. § III. 3) или смешанным (см. § III. 6). Проблема собственных значений гамильтониана Н имеет важное значение в квантовой теории не только в связи с определением энергии, но и потому, что она играет определяющую роль при решении уравнения Шредингера. Если Н не зависит от времени, а это единственный случай, когда понятие энергии имеет действительный смысл, волновая функция в момент времени получается из волновой функции в начальный момент с помощью преобразования

Мы можем вычислить выражение в правой части равенства, используя разложение в ряде по собственным функциям Н (частный случай уравнения (41)); нетрудно установить, что

т. е. что удовлетворяет уравнению Шредингера, а также начальному условию при

Предположим, в целях упрощения записи, что спектр Я является полностью дискретным и невырожденным; пусть собственные значения оператора — собственные функции, принадлежащие Разложение запишется в виде

Тогда функция представляется рядом

Заметим, что модуль коэффициента при в этом разложении не зависит от Отсюда получается важное свойство:

статистическое распределение энергии физической системы (гамильтониан которой не зависит от времени) постоянно во времени.

Момент импульса частицы в классической механике выражается вектором . В квантовой теории ему сопоставляется векторный оператор

Выпишем явно одну из его компонент

Выберем в качестве полярной оси и обозначим через сферические координаты частицы; нетрудно проверить, что Следовательно,

Задача нахождения собственных значений упрощается, если искать волновуюфункцию в сферических координатах:

Тогда находим

где — некоторая функция . Чтобы собственная функция была однозначной, необходимо, чтобы она была периодичной по с периодом т. е.

Следовательно, спектр собственных значений компоненты момента импульса частицы является полностью дискретным. Этот результат без труда распространяется на компоненту полного момента импульса системы частиц в согласии с экспериментальными данными по пространственному квантованию.