Раздел II. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

§ 8. Свойства вронскиана

Вернемся к уравнению

Выведем несколько общих свойств этого уравнения на собственные значения. В дальнейшем будем требовать ограниченности вещественной функции допуская только конечное число разрывов первого рода на всем интервале

Большое число интересующих нас свойств этого уравнения непосредственно вытекает из важной теоремы, касающейся определителя Вронского, составленного из двух решений уравнения; эту теорему мы будем в дальнейшем называть теоремой вронскиана.

Определителем Вронского, или вронскианом двух функций называется выражение

Это выражение антисимметрично по отношению к перестановке функций . Если вронскиан равен нулю в некоторой точке на оси х, функции имеют в этой точке равные логарифмические производные; если вронскиан равен нулю на всем интервале функции пропорциональны друг другу.

Теорема вронскиана. Если являются соответственно решениями уравнений

в интервале где функции непрерывны или имеют разрывы только первого рода, то изменение вронскиана на этом интервале дается выражением

Чтобы доказать эту теорему, умножим уравнение (25) на а уравнение и вычтем полученные выражения одно из другого. Получаем

Первый член в круглых скобках есть (с точностью до знака) производная вронскиана по х. Интегрируя равенство по х в интервале получаем соотношение (26).

Эта теорема оказывается особенно полезной, когда уравнения (25) или являются уравнениями типа (5) с одним и тем же потенциалом и с заданными значениями энергии . В этом случае получаем три важных следствия:

Следствие 1. Если являются решениями уравнения (5), соответствующими значениям постоянной то для всяких двух значений а и переменной х из области определения решений имеем

Следствие 2. Если у и являются двумя решениями уравнения (5), соответствующими одному значению их вронскиан не зависит от х

Следствие 3. Пусть есть решение уравнения (5), логарифмическая производная которого (по переменной имеет определенное значение в точке и пусть есть логарифмическая производная этого решения в произвольной точке х. Рассматриваемая как функция величина является монотонной функцией этой переменной, растущей при а и убывающей при причем производная равна

(как функция величина ведет себя подобно тангенсу или котангенсу при наличии вертикальной асимптоты в каждой точке, где обращается в нуль).

Следствия 1 и 2 непосредственно вытекают из теоремы вронскиана. Доказательство следствия 3 таково. Если фиксировано, то решение уравнения (5) полностью определяется при задании значения решения и его производной в некоторой точке на оси х. Пусть есть это частное решение:

Если теперь изменять сохраняя неизменными указанные условия, то будет некоторой непрерывной функцией . Двум бесконечно близким значениям соответствуют два бесконечно близких выражения Применим к ним следствие 1 на интервале

При согласно предположению Для всякого другого значения х

Здесь мы положили Логарифмическая производная подобно К, является непрерывной функцией Поэтому

или

что и требовалось доказать.

Свойства решений уравнения Шредингера, вытекающие из указанных трех следствий теоремы вронскиана, имеют большое значение, так как эти свойства не зависят от конкретной формы потенциала