§ 13. Уравнение эволюции средних значений и соотношение неопределенности время-энергия
Исходя из «представления» Гейзенберга, особенно просто написать дифференциальное уравнение для среднего значения заданной наблюдаемой 
Действительно, поскольку 
не зависит от времени, имеем
Пользуясь уравнением Гейзенберга, вновь получаем уравнение (V. 72)
Если же воспользоваться системой (I), то получаются уравнения Эренфеста (§ VI. 2).
В качестве приложения уравнения (43) дадим точный вывод соотношения неопределенности время-энергия (см. § IV. 10). Рассмотрим систему, гамильтониан которой не зависит явно от времени, и пусть А есть некоторая другая наблюдаемая этой системы, также не зависящая от времени. Мы анализируем динамическое состояние системы в заданный момент времени 
. Пусть 
есть вектор, представляющий это состояние. Обозначим с помощью 
средние квадратичные отклонения А и Н соответственно. Применим неравенство Шварца к векторам 
и повторим слово в слово рассуждения § 4. Мы найдем после вычислений, что
причем равенство реализуется, если 
удовлетворяет уравнению
где 
— некоторые вещественные постоянные (ср. уравнение (10)). Однако согласно уравнению (43)
неравенство (44) можно поэтому записать в форме
или
если положить
где 
— характеристическое время эволюции статистического распределения А. Это время, необходимое для того, чтобы центр 
распределения сместился на ширину распределения 
, т. е. время, необходимое для заметного изменения распределения. Таким образом, для каждой динамической переменной можно ввести характеристическое время эволюции.
Пусть теперь 
есть наименьшее из так определенных характеристических времен; 
можно рассматривать как характеристическое время эволюции самой физической системы: каким бы ни было измерение, осуществляемое в системе в момент времени его статистическое распределение будет практически одинаковым с распределением измерения в момент 
если разность. 
меньше 
.
Согласно неравенству (45), 
удовлетворяют соотношению неопределенности время-энергия
Если, в частности, система находится в стационарном состоянии, то 
каким бы ни было А и, следовательно, 
бесконечно велико; при этом 
в согласии с соотношением (47).
