§ 6. Системы многих частиц

Определения и результаты предшествующего рассмотрения без труда могут быть распространены на случай квантовых систем, состоящих из многих частиц.

Пусть в самом общем случае есть волновая функция квантовой системы в -мерном пространстве, причем динамическими переменными системы являются координат и канонически сопряженных импульсов Предположим, что мы имеет дело с декартовыми координатами, и обозначим с помощью элементы объемов в и -пространствах соответственно. Волновая функция в -пространстве есть

есть вероятность найти координаты в области есть вероятность найти импульсы в области Исходя из этого, можно повторить все рассуждения предшествующих параграфов.

Рассмотрим в качестве примера систему из двух частиц. Пусть суть векторы положения, а — векторы импульсов частиц соответственно. Величина есть вероятность найти частицу 1 в элементе объема и частицу 2 — в элементе объема Величина есть вероятность найти импульс частицы 1 в интервале и импульс частицы 2 — в интервале Можно ввести также плотность вероятности присутствия частицы 1 в точке если положение второй частицы не фиксировано; эта величина есть статистическое распределение, получаемое при измерении положения частицы 1 без учета положения частицы 2. Очевидно, что

Сходным образом можно ввести плотности вероятности Все эти статистические распределения являются существенно положительными величинами, удовлетворяющими условиям нормировки

(символ означает шестикратный интеграл, распространенный на все конфигурационное пространство, символ — тройной интеграл, распространенный на импульсное пространство частицы 2 и т. д.).

Динамическое состояние системы из двух частиц в данный момент времени определяется волновой функцией

взятой в тот же момент времени. С помощью преобразования Фурье мы получаем волновую функцию в импульсном пространстве:

Обобщениями определений (2) и (6) очевидно являются следующие соотношения:

причем условия нормировки вероятностей приводят к условию нормировки волновых функций

Это условие нормировки действительно может быть реализовано в каждый момент времени, если гамильтониан, входящий в уравнение Шредингера, является эрмитовым оператором. Легко проверить, что дело обстоит именно так. Волновые функции таким образом, определяются с точностью до произвольного постоянного фазового множителя.

Из указанных определений можно получить и другие распределения, введенные выше. Так, например,

Аналогичным путем вводятся определения средних значений функций координат или импульсов двух частиц. Так, например,

Все замечания, сделанные в конце § 5 сохраняют свою силу.

Когда волновая функция представима в виде произведения двух функций (факторизуется)

(при этом предполагаются нормированными на единицу), то и волновая функция в пространстве импульсов и распределения Р и П также оказываются факторизованными:

Это следует непосредственно из самого определения этих величин. Мы видим, что в этом случае не существует никаких корреляций между статистическими распределениями результатов измерений, проведенных для каждой из этих частиц. Статистические предсказания о результатах измерения величин, относящихся, например, к частице 1, будут такими, как если бы она находилась в динамическом состоянии, определяемом волновой функцией Нетрудно проверить, что где есть волновая функция в пространстве импульсов, соответствующая Во всех вычислениях, касающихся измерений, проведенных с этой частицей (средние значения, флуктуации и т. д.), можно просто игнорировать существование второй частицы и рассматривать только одну частицу с волновой функцией

Если две частицы не взаимодействуют между собой или по той или иной причине мы можем пренебречь этим взаимодействием, то свойство факторизации волновой функции сохраняется с течением времени. Действительно, гамильтониан системы в этом случае может быть записан в виде суммы двух членов: из которых первый — действует только на функции переменной а второй — на функции переменной Предположим, что в начальный момент времени

я пусть являются решениями уравнений Шредингера

с начальными условиями соответственно. Факторизованная волновая функция

удовлетворяет уравнению Шредингера системы, так как

Движения каждой из частиц, как этого и следовало ожидать, остаются совершенно независимыми, так что никаких корреляций между статистическими распределениями измерений, проведенных над каждой из них, ни в какой момент времени возникает.