§ 3. Сохранение нормы во времени
Чтобы определения вероятностей, данные выше, были справедливы, необходимо, чтобы норма N волновой функции оставалась постоянной во времени. Но функции 
удовлетворяют соответственно уравнению Шредингера (II.33) и комплексно сопряженному уравнению, т. е.
Следовательно,
Интегрируя обе стороны равенства по всему конфигурационному пространству, получаем
Норма будет оставаться постоянной во времени, если
Это равенство должно выполняться каким бы ни было динамическое состояние частицы, т. е. для всякой функции 
квадратично интегрируемой в пространстве конфигураций.
В математике операторы, удовлетворяющие соотношению (8) для всякой функции 
из функционального пространства, где определен оператор, называются эрмитовыми операторами. Основные свойства эрмитовых операторов будут изучены в гл. V.
Проверим, что гамильтониан Шредингера действительно обладает свойством эрмитовости. Ограничимся здесь случаем частицы, находящейся в области действия скалярного потенциала (случай заряженной частицы в электромагнитном поле является предметом задачи 1). Имеем
Поскольку 
есть величина действительная, уравнение (8) в данном случае принимает вид
Если бы интегрирование распространялось на некоторый конечный объем, ограниченный поверхностью 
то по известной теореме Грина объемный интеграл был бы равен интегралу по поверхности
где символом 
обозначена внешняя нормальная производная. В нашем случае интегрирование распространяется на все конфигурационное пространство, т. е. все элементы поверхности 
удаляются в бесконечность. В то же время, поскольку 
представляет динамическое состояние физической системы, она есть функция квадратично интегрируемая, следовательно, поверхностный интеграл стремится к нулю.
Таким образом, если условие нормировки (3) выполняется в начальный момент времени, оно выполняется и во все последующие моменты времени. Ввиду того, что уравнение
Шредингера есть однородное уравнение, его решения определены только с точностью до произвольного постоянного комплексного множителя. Условие нормировки в начальный момент времени фиксирует абсолютное значение этого множителя; фаза комплексного постоянного множителя остается произвольной.
