§ 11. Уровни энергии в потенциальной яме
В качестве второго примера рассмотрим потенциальную яму, представленную на рис. 26, и поставим задачу нахождения уровней энергии дискретного спектра.
Каждой энергии Е соответствуют две граничные точки а и 
классического движения. Они делят ось х на три области: I, II и III. Будем искать решение ВКБ, экспоненциально затухающее
в областях 1 и 
т. е.
(с и с — постоянные). Согласно формуле согласования (50) и аналогичной формуле, соответствующей барьеру справа, эти функции имеют следующие продолжения в область II:
Эти функции равны 
если
где N — целое число 
. Требование (54) фиксирует дискретные уровни энергии спектра. В этом случае имеем 
Таким образом, получаем (с точностью до произвольного постоянного множителя) выражения 
для соответствующей собственной функции в каждой из трех областей за исключением двух окрестностей точек а и 
Рис. 26. Потенциальная яма 
Условия применимости метода требуют, чтобы граничные области около точек а и 
где потенциал 
должен представляться в хорошем приближении линейной функцией х, имели размеры порядка нескольких длин волн; поэтому метод применим только для очень больших квантовых чисел 
В некоторых особых случаях, например, в случае гармонического осциллятора, метод дает точные значения всех уровней
энергии, включая и основное состояние (см. задачу 6). Это еле дует считать случайным обстоятельством.
Правило квантования (54) можно рассматривать как условие стационарности волны: интервал 
должен содержать, «полуцелое» (т. е. целое 
) число «полудлин» волн. Оно отличается от правила квантования Бора — Зоммерфельда только присутствием «полуцелых» квантовых чисел: с точностью до множителя 
интеграл 
есть интеграл действия 
в соответствующем классическом фазовом пространстве. Между прочим этот интеграл равен площади той части фазового пространства, где энергия меньше Е
Поэтому правила (54) можно записать в форме
Согласно формуле (55), область фазового пространства 
при переходе с одного уровня энергии на следующий увеличивается на 
Отсюда мы получаем следующий важный результат, касающийся распределения уровней энергии:
Объем области фазового пространства, соответствующей интервалу 
в единицах 
равна числу связанных состояний квантовой системы, энергия которых лежит в указанном, интервале.
Условия справедливости этого результата в действительности менее ограничительны, чем условия применимости метода 
практически он всегда имеет место «в пределе больших квантовых чисел». Обычно принимают (и доказывают в простейших случаях), что этот результат применим и для систем, число степеней свободы которых R превышает единицу, если только в качестве единицы измерения объема фазового пространства взять 
.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
(см. скан)
