§ 2. Теорема Эренфеста
Теорема Эренфеста выражает закон изменения во времени средних значений координат 
и сопряженных импульсов 
квантовой системы. Теорема утверждает, что уравнения движения этих средних величин формально тождественны уравнениям Гамильтона классической механики, если только все величины, фигурирующие в обеих частях классических уравнений, заменить на соответствующие средние значения.
Теорема Эренфеста непосредственно следует из общего уравнения (V. 72), если применить его к переменным положения и импульса.
Пусть 
— координаты (декартовы), 
— сопряженные им импульсы и 
гамильтониан системы. Согласно уравнению (V. 72),
Вычисление коммутаторов в правых частях уравнений было проведено в гл. V (уравнения (V. 67), (V. 68)). Отсюда следует 
результат:
Следует хорошо понимать связь между системой уравнений (1) и канонической системой Гамильтона. Вообще говоря, нельзя утверждать, что средние значения 
следуют законом классической механики. Производные по времени классических величин 
являются вполне определенными функциями 
этих величин; эволюция последних с течением времени полностью определяется заданием их значений в начальный момент. Согласно же уравнениям (1) производные 
равны некоторым средним значениям, вычисление которых в общем случае требует знания волновой функции 
Средние значения 
следуют законам классической механики только в той мере, в какой можно заменить в правых частях (1) средние значения функций на функции: средних значений, именно
Эта подстановка справедлива только в том случае, если гамильтониан есть полином второго порядка по 
(свободна» частица, гармонический осциллятор, заряженная частица в постоянных электрическом и магнитном полях, см. задачи 1 и 2). Во всех остальных случаях, делая подстановку, мы пренебрегаем флуктуациями 
около их средних значений.
Рассмотрим в качестве примера случай частицы в потенциальном поле
Введем силу
Уравнения Эренфеста в этом случае таковы:
или
что является квантовым аналогом уравнения Ньютона.
Чтобы среднее положение
силы в точке 
Если сила вообще равна нулю (свободная частица) или линейно зависит от радиуса-вектора 
(гармонический осциллятор), то справедливо точное равенство 
Во всех остальных случаях указанная замена оправдана только, если волновая функция остается локализованной в достаточно малой области пространства, где величину силы можно считать практически постоянной.
