§ 4. Радиальное уравнение

Перейдем теперь ко второму этапу решения уравнения Шредингера. Мы должны найти общие собственные функции коммутирующих операторов . Они являются решениями уравнения Шредингера вида:

Из того, что есть решение уравнения (13), а — собственная функция Р (уравнение (14)) следует, что удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению второго порядка

где

Удобно ввести обозначение

и заменить уравнение (18) эквивалентным радиальным уравнением

которое имеет большое сходство с одномерным уравнением Шредингера. Отметим, что норма после проведения интегрирования по углам, определяется выражением

и что условие (7) эрмитовости эквивалентно условию

Нас будут интересовать не все возможные решения радиального уравнения (20), так как для того, чтобы функция была приемлема в качестве собственной функции необходимо, чтобы удовлетворяла некоторым условиям регулярности. Нужно: а) исследуя поведение в начале координат, убедиться в том, что действительно является решением уравнения Шредингера во всем пространстве, включая начало координат; б) потребовать, чтобы решение было нормируемым (в смысле, определенном на стр. 185).

В целях уточнения условий регулярности рассмотрим подробнее поведение решений уравнения (20) вблизи начала координат. Будем предполагать, что потенциал ограничен во всем интервале, кроме, быть может, начала координат, где допустима сингулярность типа Эти предположения выполняются во всех практически интересных случаях. При таких условиях уравнение (20) допускает одно «регулярное» решение (определенное с точностью до постоянного множителя), которое в начале координат обращается в нуль как другое решение вблизи начала координат ведет себя как

Для доказательства предположим, что функция является аналитической в окрестности начала координат, и будем искать частное решение уравнения (20) в виде ряда Подставляя это разложение в уравнение, разлагая функцию в ряд Тейлора и приравнивая нулю коэффициенты при равных степенях в левой части уравнения, получим бесконечную последовательность алгебраических уравнений, из которых первое

определяет s, а последующие — коэффициенты . В нашем случае уравнение для имеет два решения: . Если , вычисление коэффициентов ряда может быть продолжено до бесконечности и мы получаем «регулярное» решение . Если же то вычисление коэффициентов невозможно. Однако, нетрудно показать, что если является решением уравнения (20), то функция

которая вблизи начала координат ведет себя как также является решением уравнения. Общее решение есть линейная комбинация этих двух частных решений.

Всякое решение типа должно быть отброшено, так как оно не удовлетворяет по крайней мере одному из условий а) и б). Действительно, если интеграл от квадрата модуля такого решения расходится в нуле и согласно уравнению (21) функция образованная из такого решения, не принадлежит пространству Гильберта (условие Заметим, что расходимость в нуле имеет место и для собственного дифференциала функции . Поэтому данное решение должно быть отброшено

как в случае дискретного спектра Е, так и в случае непрерывного спектра.

Это рассуждение неприменимо при Но в этом случае соответствующая волновая функция не удовлетворяет уравнению Шредингера (условие Действительно, вблизи начала координат эта функция ведет себя как , поскольку (см. уравнение (А. 12)), имеем

Таким образом, мы должны сохранить только «регулярные» решения или, что то же самое, решения, удовлетворяющие условию (22). При этом функция является решением уравнения Шредингера всюду, включая начало (условие . Далее, поскольку интеграл нормировки сходится в начале координат, выполнение условия принадлежности или ее собственного дифференциала пространству Гильберта (условие будет зависеть исключительно от поведения этого решения на бесконечности.

Дополненное условием (22) радиальное уравнение (20) представляет собой уравнение Шредингера, описывающее одномерное движение частицы с массой при наличии потенциала в области и бесконечно большого отталкивающего потенциала в области Решение уравнения Шредингера в трех измерениях свелось, таким образом, к одномерному уравнению Шредингера. Все свойства такого уравнения, разобранные в гл. III (свойства вронскиана, асимптотическое поведение решений, соотношения ортогональности и т. д.), остаются справедливыми и в нашем случае, несмотря на сингулярность «эквивалентного потенциала» типа в начале координат.