§ 10. «Представление» Гейзенберга

Если произвести унитарное преобразование кет-векторов и наблюдаемых «представления» Шредингера и приписать преобразованным величинам тот же физический смысл, что и ранее, то мы получим некоторый новый способ описания явлений, строго эквивалентный первоначальному. При таком преобразовании наблюдаемые преобразуются в наблюдаемые, обладающие тем же спектром собственных значений, собственные векторы переходят в собственные векторы, алгебраические соотношения, соотношения сопряжения и скалярные произведения сохраняются. Поскольку измеряемыми величинами являются только модули скалярных произведений (см. уравнение (30)), очевидно, что все предсказания на основе новых величин тождественны предсказаниям, сделанным на основе старых.

В частном случае можно определить «представление» Гейзенберга, производя унитарное преобразование, зависящее от времени и осуществляемое оператором Будем обозначать старые величины индексом , а новые — индексом Н, Кет-вектор

представляющий динамическое состояние системы в момент времени преобразуется в «неподвижный» кет-вектор

Напротив, наблюдаемая «представления» Шредингера преобразуется в

Мы видим, что даже если не зависела явно от времени, наблюдаемая непрерывно изменяется. Если использовать дифференциальное уравнение (32) и эрмитово сопряженное уравнение, можно путем почленного дифференцирования получить

В этом уравнении Н есть гамильтониан в «представлении» Шредингера. Вводя гамильтониан «представления» Гейзенберга

находим

Наблюдаемая некоторая функция основных наблюдаемых «представления» Шредингера — может и явно зависеть времени; второй член в правой части (39) учитывает это обстоятельство. Наблюдаемая есть также некоторая функция наблюдаемых «представления» Шредингера. Если обозначить с помощью функцию, получаемую из предшествующей путем замены всех наблюдаемых на соответствующие наблюдаемые «представления» Гейзенберга, то получим

Поэтому уравнение (39) записывается в форме

Это уравнение известно как уравнение Гейзенберга.

В заключение можно сделать вывод, что «представление» Гейзенберга получается путем придания пространству векторов «представления» Шредингера некоторого общего движения, выбираемого таким образом, чтобы динамическое состояние квантовой системы было представлено неподвижным кет-вектором . Другими словами, всякий неподвижный кет-вектор «представления» Гейзенберга описывает возможное движение квантовой системы. В противоположность этому различные физические величины представляются наблюдаемыми, изменяющимися во времени согласно закону (38) или, что то же самое, согласно уравнению Гейзенберга (40) с начальным условием

Уравнения (38) и (40) применимы, разумеется, к любой функции наблюдаемых «представления» Гейзенберга и, в частности, к выражению или оператору проектирования на подпространство собственных векторов, принадлежащих собственным значениям в некоторой области спектра

Точно так же, кет-вектор представляющий точное задание набора совместных переменных, вообще говоря, зависит от времени и получается из своего аналога «представления» Шредингера с помощью формулы

Предположим, что движение квантовой системы представляется, начиная с момента времени неподвижным кет-вектором . Тогда вероятность найти ее в состоянии в результате измерения, производимого в последующий момент времени есть

Эта величина равна той, которая получается с помощью соответствующих кет-векторов «представления» Шредингера (уравнение (36)), ибо скалярное произведение инвариантно относительно унитарного преобразования