§ 20. Теория эффективного радиуса действия. Формула Бете
Формулы § 17 позволяют исследовать изменение фазовых сдвигов при модификации потенциала при данном значении энергии. В этом параграфе мы рассмотрим изменение фазовых
сдвигов в зависимости от изменения энергии. Полученные формулы будут особенно полезны в предельном случае малых энергий, когда потенциал имеет короткий радиус действия.
Пусть 
— одно из регулярных решений уравнения (29); пока мы не будем уточнять его нормировку. Пусть 
есть решение (нерегулярное) уравнения (71), соответствующее тому же значению энергии и имеющее ту же асимптотическую форму, что и и, включая нормировку. Рассмотрим теперь два различных значения энергии 
будем отмечать индексами 1 и 2 все величины, относящиеся к этим энергиям. По теореме вронскиана (III. 27) имеем
и соответствующее выражение для 
, откуда
Когда 
то поскольку 
имеют одну асимптотическую форму, интеграл в правой части уравнения сходится, а разность вронскианов на верхнем пределе обращается в нуль. Поскольку, кроме того, 
написанная формула при 
переходит в
Выбирая подходящим образом нормировку и, можно из этой формулы найти значения разности 
при энергиях 
Ограничимся случаем 
-волны 
Кроме этого, положим 
и обозначим через 
значения 
в этом частном случае. Фиксируем нормировку и условием 
, т. е.
Тогда формула (77) запишется в виде
В предположении, что 
стремится к нулю при 
достаточно быстро, так чтобы интеграл в правой части сходился, эта формула остается справедливой в пределе 
Обозначим с помощью 
функции 
при энергии равной нулю. Замечаем, что
где а — длина рассеяния, определяемая уравнением (47). Выбирая значения 
в соотношении (78) (см. рис. 35), получаем формулу Бете:
Это строгое соотношение. Оно полезно, когда интеграл в правой части медленно меняется как функция энергии.
Рис. 35. Волновые 
-функцни нулевой энергии в теории эффективного радиуса действия для последовательно увеличивающейся глубины потенциала ограниченного радиуса действия 
— параметр глубины ямы, при этом 
соответствует глубине, необходимой для образования 
занного состояния): а) 
Замечание, а является убывающей функцией 
имеющей вертикальную асимптоту при каждом значении 
для которого существует связанное состояние с нулевой энергией.
Именно это имеет место в случае короткодействующего потенциала 
того типа, что мы встречаем в ядерной физике, когда можно разделить все пространство на внутреннюю область 
для которой 
и внешнюю область 
где потенциал V пренебрежимо мал. Основной вклад в интеграл дает внутренняя область, где без большой ошибки можно заменить и на 
и 
на 
так как в начале координат 
и относительная кривизна функций и и 
практически одинакова 
во всей этой области (рис. 35). Таким образом, в очень хорошем приближении
имеем
Величина 
обычно называется эффективным радиусом — это параметр, характеризующий свойства потенциала.
Правая часть уравнения (80) по существу представляет два первых члена в разложении 
по степеням энергии. Чтобы выписать члены более высокого порядка, надо получить разложения и и 
в виде рядов по степеням 
и подставить эти ряды в правую часть 
Основываясь на аргументах, приведенных выше, следует ожидать, что получающиеся ряды быстро сходятся во внутренней области, поэтому и сходимость разложения для 
также будет хорошей.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
(см. скан)
