§ 19. Изменение статистического распределения во времени. Интегралы движения

Запишем уравнение Шредингера вместе с комплексно сопряженным уравнением:

Если нормирована на единицу в начальный момент времени, она остается нормированной и в последующие моменты времени. Среднее значение наблюдаемой А в каждый момент времени выражается скалярным произведением

При этом

Последний член в правой части равен нулю, если А не зависит явно от времени.

Используя уравнение Шредингера, а также свойство эрмитовости гамильтониана, получаем

Отсюда следует общее уравнение, определяющее изменение во времени среднего значения А:

Заменяя А оператором получаем аналогичное уравнение для изменения во времени характеристической функции статистического распределения для А.

В частности, для всякой наблюдаемой С, коммутирующей с гамильтонианом,

и от времени явно не зависящей, получаем результат

т. е. среднее значение наблюдаемой С остается постоянным во времени. Но если наблюдаемая С коммутирует с гамильтонианом Н, то функция также коммутирует с Я и поэтому

т. е. характеристическая функция, а, следовательно, и статистическое распределение наблюдаемой С остаются постоянными во времени.

По аналогии с классической аналитической механикой наблюдаемая С называется постоянной движения (или интегралом движения). В частности, если в начальный момент времени волновая функция была собственной функцией С, принадлежащей данному собственному значению с, то это свойство сохраняется во времени. Тогда говорят, что с является «хорошим квантовым числом». Если, в частности, Н от времени явно не зависит и если динамическое состояние системы в момент времени представляется собственной функцией, общей для операторов , то волновая функция остается постоянной во времени с точностью до фазового множителя; энергия и динамическая переменная С остаются вполне определенными и постоянными во времени.