§ 13. Наблюдаемые в общем случае и обобщенное соотношение замкнутости
Эрмитов оператор А является наблюдаемой, если векторное пространство 
с ограниченной нормой, образованное суперпозицией собственных векторов А, совпадает с полным пространством Гильберта 
или, что то же самое, если оператор 
проектирования на 
равен единице.
Когда спектр полностью дискретен, оператор 
может быть представлен в виде разложения по элементарным ортогональным проекторам, полученным с помощью собственных векторов А, и условие того, что А есть наблюдаемая, удобно записывать в форме соотношения замкнутости (48). Распространение этого соотношения на общий случай требует введения дифференциальных проекторов — они в случае непрерывного спектра играют ту же роль, что элементарные проекторы при дискретном спектре.
Рассмотрим сначала случай, когда спектр А невырожден. Предполагаем, что спектр содержит непрерывную область, обозначаемую непрерывно изменяющимся индексом 
и дискретную область с дискретным индексом 
Таким образом, 
есть собственное значение из дискретной части спектра, 
-собственное значение из непрерывной части; 
есть монотонная функция 
принимающая все промежуточные значения в некотором интервале 
Обозначим с помощью 
собственные кет-векторы, принадлежащие собственным значениям 
. Эти кет-векторы ортонормированы, в частности
Оператор
является оператором проектирования на подпространство, натянутое на кет-векторы 
из интервала 
Складывая проекторы этого типа, образуем проектор
который проектирует на подпространство 
натянутое на собственные кет-векторы, принадлежащие непрерывному спектру. Это подпространство ортогонально подпространству 
натянутому на собственные кет-векторы дискретного спектра, причем проектор на это подпространство равен
Условие того, что А есть наблюдаемая, записывается в виде
или подробнее
Выполнение соотношения замкнутости (53) является необходимым и достаточным условием того, что множество ортонормиро-ванных векторов 
образует полную систему.
Распространение этого результата на случай, когда весь спектр или часть спектра А оказываются вырожденными, не вызывает трудностей. Возьмем в качестве примера случай, рассмотренный в конце § 9. Собственные кет-векторы 
удовлетворяют условиям ортонормированности (30). Если кроме того А есть наблюдаемая, т. е. собственные кет-векторы этого оператора составляют полную систему, то они удовлетворяют условию замкнутости
Как и в случае полностью дискретного спектра удобно использовать соотношение замкнутости при разложении произвольного вектора 
пространства Гильберта в ряд по базисным кет-векторам наблюдаемой А. Для сокращения записи примем, что спектр А невырожден (соотношение (53)). Тогда
Аналогично находим обобщенное равенство Парсеваля
и разложение А в ряд по проекторам
В заключение укажем, что часто бывает удобно заменить условие ортонормированности собственных векторов непрерывного спектра на более общее условие
где 
— вещественная положительная функция 
Это эквивалентно умножению каждого вектора на постоянную с модулем 
В этом случае все предшествующее остается справедливым, но только во всех формулах 
следует заменить на 
Аналогично, если условие нормировки (30в) заменить на
то выражение для 
в соотношении замкнутости (54) получается путем деления подынтегрального выражения на 
.
