§ 12. Волновое уравнение для свободной частицы
Теория волн вещества позволяет без затруднений написать волновое уравнение для свободной частицы в нерелятивистском приближении. Действительно, волна 
может быть представлена как суперпозиций
плоских монохроматических волн 
причем частота 
связана с волновым вектором 
соотношением, связывающим энергию и импульс частицы
Образуя частные производные от обеих частей равенства (11) (здесь мы не обсуждаем математических вопросов сходимости соответствующих интегралов), получим последовательно:
Согласно соотношению (12) подынтегральные выражения в уравнениях (13) и (15) пропорциональны друг другу, то же можно сказать и о самих интегралах. Поэтому
Это и есть уравнение Шредингера для свободной частицы; оно удовлетворяет условиям А) и Б), см. § 10; из самого вывода следует, что уравнение удовлетворяет требованиям принципа соответствия. Имеет место формальная аналогия с классической механикой: уравнение (16) представляет собой как бы квантовый; аналог классического уравнения (12). При этом энергия и импульс на квантовом языке представляются дифференциальными операторами, действующими на волновую функцию согласно правилам соответствия
Таким образом, величина 
представляется оператором
Подобно соотношению (12) уравнение (16) не удовлетворяет, естественно, принципу относительности. В то же время теория де Бройля сама по себе не имеет подобного ограничения. Чтобы получить релятивистское уравнение для свободной частицы, разумно следовать той же схеме рассуждений, что и выше, но заменить уравнение (12) его релятивистским аналогом. Правильное соотношение 
не подходит по причине
наличия квадратного корня. Чтобы обойти эту трудность, можяо использовать соотношение
откуда получается, уравнение
которое можно записать в виде
с помощью оператора Даламбера 
. Между уравнениями (18) и (19) существует то же формальное соответствие, что и между уравнениями (12) и (16).
Уравнение (19), известное как уравнение Клейна — Гордона, играет важную роль в релятивистской квантовой теории. Поскольку это уравнение не удовлетворяет критерию Б), оно не может рассматриваться как волновое уравнение без соответствующего изменения интерпретации функции 
Вообще говоря, само утверждение, что волновая функция может представлять динамическое состояние одной и только одной частицы, имеет смысл только в нерелятивистском пределе, когда справедлив закон сохранения числа частиц. Поэтому в дальнейшем мы будем изучать именно нерелятивистское волновое уравнение.
