§ 3. Наблюдаемые квантовой системы и соотношения коммутации

На первом этапе исследования квантовой системы следует установить динамические переменные системы и построить алгебру соответствующих наблюдаемых. На деле различные наблюдаемые системы могут быть выражены как функции некоторого числа «основных наблюдаемых»; тогда искомые правила алгебры наблюдаемых можно получить с помощью правил коммутации этих основных наблюдаемых.

Когда квантовая система обладает классическим аналогом, что имело место во всех рассмотренных до сих пор случаях, можно установить самые общие правила, основанные на принципе соответствия.

В классической системе N измерений самой общей динамической переменной будет функция -независимых переменных — N пространственных координат и N импульсов . Те же самые динамические переменные приписываются квантовой системе. Вводятся N переменных положения и N переменных импульса. Этим переменным соответствуют наблюдаемые, которые мы обозначим теми же символами Постулируем, что единственными некоммутирующими наблюдаемыми являются N пар, в которые входят пространственная координата и ее канонически сопряженный импульс; для этих пар имеем Таким образом,

Поскольку произвольные наблюдаемые являются функциями и коммутаторы наблюдаемых находятся с помощью соотношений (6) и (7); их можно вычислить явно, пользуясь правилами алгебры коммутаторов (§ V. 17). Это соответствие между наблюдаемыми квантовой системы и величинами классической системы — аналога уже неоднократно

комментировалось (§ II. 15 и § V. 3). Чтобы избежать неопределенности, следует всегда исходить из декартовых координат в конфигура ционном пространстве и руководствоваться эмпирическими правилами § II. 15. В частности, правило «симметризации», данное в этом параграфе, гарантирует, что всякой вещественной величине, принадлежащей системе, сопоставляется эрмитов оператор.

Однако не все квантовые системы могут рассматриваться на основе принципа соответствия. Часто оказывается, что динамические переменные, вводимые на основе принципа соответствия с классической системой, не исчерпывают физических свойств исследуемой квантовой системы. В этом случае необходимо вводить дополнительные переменные. Выбор этих новых переменных и правил коммутации для них основывается на чисто интуитивных соображениях.

Среди физических величин, характеризующих систему, особо следует отметить энергию. Представляющая ее наблюдаемая Н называется гамильтонианом системы. Если система имеет классический аналог, то Я получается на основе принципа соответствия из функции Гамильтона классической механики.