Раздел III. ПОТЕНЦИАЛ ОГРАНИЧЕННОГО РАДИУСА

ДЕЙСТВИЯ

§ 10. Сдвиг фазы и логарифмическая производная

Предположим, что потенциал отличен от нуля только в некоторой ограниченной области пространства: при

Пусть — значение в точке логарифмической производной регулярного в начале координат решения радиального уравнения (29):

(это определение отличается от обычного множителем ). Мы знаем, что — монотонно убывающая функция энергии (§ III. 8), детальный вид этой функции зависит, естественно, от формы потенциала

Однако условие равенства нулю потенциала при позволяет установить соотношение между которое не зависит от конкретной формы потенциала задания достаточно для определения асимптотического поведения решения.

В дальнейшем предполагаем, что нормировка выбирается так, чтобы

Поэтому во внешней области

Для дальнейших выкладок удобно ввести обозначение и ввести сходящиеся и расходящиеся волны

вронскиан которых не зависит от и равен

Во внешней области

Условие непрерывности логарифмической производной в точке дает соотношение

Это и есть искомое соотношение между

Чтобы представить данное соотношение в более удобной форме, введем обозначения:

Из уравнения (38) следует (см. задачу 3)

Здесь — положительная величина, не превосходящая 1, она называется фактором проникновения.

В этих обозначениях условие непрерывности (40) записывается так:

или

где

Мы видим, что фазовый сдвиг выражается в виде суммы двух членов, из которых первый, не зависит от конкретной формы рассеивающего потенциала, а второй, зависит от нее через согласно уравнению (43).

Заметим, между прочим, что