§ 3. Определение средних значений

В § IV. 5 каждой динамической переменной вида или мы сопоставили некоторый линейный оператор А, соответственно равный или кроме того, было указано - это следовало из определений что среднее значение каждой динамической переменной определяется выражением (IV. 22), которое в новых обозначениях может быть записано в виде . Если волновая функция не нормирована на единицу, то выражения (IV. 2) и (IV. 6) для должны быть разделены на норму волновой функции и тогда выражение для среднего значения принимает вид

Все это можно обобщить на случай произвольной динамической переменной. Постулируем, что:

а) Любой динамической переменной сопоставляется линейный оператор

б) Если система находится в динамическом состоянии, определяемом волновой функцией то среднее значе ние динамической переменной есть

Соответствие между классической функцией Гамильтона и гамильтонианом уравнения Шредингера (§ II. 15) является частным случаем соответствия а) между динамическими переменными и линейными операторами. Замечания, сделанные в § II. 15 по поводу этого соответствия, имеют силу и в общем случае. Следует иметь в виду, что координаты являются декартовыми координатами. Далее, в самом определении опера тора А имеется некоторая неопределенность, связанная с тем, что, используя принцип соответствия, мы заменяем величины, для которых справедливы законы обычной алгебры, операторами, которые, вообще говоря, могут не коммутировать; на практике эта неопределенность снимается в соответствии эмпирическими правилами, указанными на стр. 77.

Если динамическая переменная представляет физическую величину, то она является вещественной функцией и все результаты измерения а следовательно и среднее значение также являются вещественными. Таким образом, есть вещественная величина

каким бы ни было динамическое состояние системы, т. е. какой бы ни была волновая функция Иначе говоря (ср. стр. 123), оператор А должен быть эрмитовым (или самосопряженным). Нетрудно видеть, и мы это констатируем во всех встречающихся примерах, что поскольку операторы и являются эрмитовыми, по принципу соответствия любой вещественной динамической переменной всегда можно сопоставить эрмитов оператор; правило «симметризации» на стр. 77 и было сформулировано для этой цели.

Свойства эрмитовых операторов будут систематически изучены в § 5 и далее. Укажем уже сейчас одно важное свойство этих операторов. Если оператор А эрмитов, то среднее значение переменной вычисленное с помощью линейной комбинации двух функций Ф и из функционального пространства, в котором действует оператор А, есть величина вещественная. Следовательно, выражение

вещественно. Это должно быть так для любого значения комплексного числа . Ввиду того, что и являются вещественными величинами, мы делаем заключение, что

где а — фаза комплексного числа , есть величина вещественная. Иными словами,

и, поскольку это уравнение должно выполняться при любых а, находим, что величины в скобках в обеих частях равенства равны нулю. Таким образом, если являются функциями из функционального пространства, в котором определен оператор , то

или, что то же самое,

Равенство (8) часто рассматривается как определение эрмитовости оператора А.

Постулаты а) и б) позволят нам определить статистическое распределение значений физической величины Конец этого раздела и два последующих посвящены этой задаче.