§ 21. Матрица плотности

Смешанные состояния особенно удобно описывать с помощью оператора

В этом выражении векторы нормированы на единицу (но не обязательно ортогональны), а величины имеют характерные свойства статистических весов, т. е.

Оператор называется матрицей плотности или статистическим оператором.

Среднее значение наблюдаемой А есть след

Действительно,

и чтобы доказать эквивалентность формул (62) и (65) достаточно показать, что

Поскольку оператор есть оператор проектирования и его след равен 1 (уравнение (VII. 88)), имеем

Те же выкладки, но в случае дают условие нормировки

Конечно все эти выводы относятся и к любой функции наблюдаемой А, так что можно написать

Зная можно вывести статистическое распределение результатов измерения А.

Если — оператор проектирования на подпространство, натянутое на собственные векторы А, принадлежащие собственным значениям, располагающимся в некоторой области спектра А, то вероятность найти результат измерения в области есть (см. уравнение (5)), т. е.

В частности, вероятность найти систему в квантовом состоянии, представляемом вектором (с нормой, равной 1), есть

Задания оператора вполне достаточно для вычисления всех измеряемых на опыте величин, их средних значений и статистических распределений результатов измерения, поэтому в дальнейшем мы будем считать вполне одинаковыми два смешанных состояния, имеющих одну матрицу плотности: всякое смешанное состояние полностью определяется своей матрицей плотности.

Чтобы завершить исследование случая смешанных состояний и применения к нему постулатов § 2, остается выяснить, какая матрица плотности представляет динамическое состояние системы после окончания некоторого измерения. Ограничимся, как и в § 2, случаем идеального измерения. Если измерение показало, что система находится в собственном состоянии наблюдаемой А, принадлежащем некоторой области спектра то матрица плотности после измерения равна с точностью до нормировочной

постоянной проекции оператора который представлял смешанное состояние до измерения. Соответствующая постоянная должна находиться из условия равенства единице следа оператора; таким образом, она равна величине, обратной Изменение (некаузальное) матрицы плотности в процессе измерения может быть поэтому выражено схемой