§ 6. Квантовая одномерная система, обладающая классическим аналогом

Применим метод построения пространства из § 5 к одномерной квантовой системе, обладающей классическим аналогом; наблюдаемые такой системы являются функциями двух из них, а именно и связанных соотношением коммутации

Величина сама по себе образует полный набор коммутирующих наблюдаемых. Действительно, коммутатор и заданной функции согласно уравнению (V. 68) равен

следовательно, коммутирует с А только, если А не зависит от иными словами, единственными наблюдаемыми, коммутирующими с являются функции от

Простые соображения внутренней согласованности накладывают очень строгие условия на собственные функции и спектр собственных значений . Пусть есть собственный кет-вектор

Запишем условие того, что обе части равенства (12) имеют один и тот же диагональный элемент, соответствующий

не может иметь конечной нормы, так как в противном случае правая часть равенства была бы равна нулю, а левая часть конечна и не равна нулю.

Рассмотрим далее оператор сдвига

Это функция наблюдаемой зависящая от параметра . Ясно, что это унитарный оператор

так как эрмитово сопряженный оператор есть

Применяя уравнение (12), находим

т. е.

и, следовательно,

Таким образом, есть собственный вектор принадлежащий собственному значению Этот вектор, очевидно, неравен нулю (в противном случае не существовало бы оператора, обратного S); его норма (бесконечная) та же, что и ибо S — унитарный оператор

Все это справедливо, каким бы ни было значение во всем интервале . Так, с помощью унитарного преобразования с подходящим параметром можно образовать собственный кет-вектор соответствующий любому наперед заданному собственному значению в интервале

Мы приходим к заключению, что спектр непрерывный, невырожденный и заполняет весь интервал собственные векторы имеют бесконечную норму.

Обозначим с помощью один из собственных кет-векторов принадлежащий собственному значению

определяется с точностью до постоянного множителя, абсолютную величину которого фиксируем условием нормировки

Пространство по определению, образовано линейными комбинациями векторов

Величина очевидно является наблюдаемой этого пространства. Векторы суть базисные векторы некоторого представления векторов и операторов а именно представления в котором оператор диагонален

Покажем, что есть вполне определенный эрмитов оператор в пространстве для этого достаточно найти его матрицу в представлении

Рассмотрим вначале унитарный оператор определенный уравнением (14). Поскольку этот оператор удовлетворяет уравнению (15), есть собственный вектор принадлежащий собственному значению ):

где с — фазовый множитель, который может зависеть от и Выберем фазы базисных векторов так, чтобы

При этом фазовый множитель с будет равен 1, какими бы ни были и Действительно,

или

Зная таким образом матричные элементы для любых значений параметра и учитывая, что в пределе бесконечно малых значений этого параметра

можем написать

откуда

Поскольку «функция» нечетна, ясно, что т. е. оператор эрмитов.

Проверим также, что и удовлетворяют условию коммутации (12):

(здесь использовано тождество из дополнения А).

Остается показать, что есть наблюдаемая. Для этого решим задачу о собственных значениях в представлении . Пусть — собственный кет-вектор, принадлежащий собственному значению Уравнение

в представлении с учетом уравнения (20), записывается в форме

Это дифференциальное уравнение для функции переменной общее его решение есть

где а — произвольная постоянная. Оказывается, таким образом, что имеет непрерывный спектр собственных значений простирающийся от до Собственные векторы имеют бесконечную норму, они удовлетворяют условиям ортонормировки

если принять Теперь ясно, что наблюдаемая, ибо векторы удовлетворяют соотношению замкнутости. Действительно, оператор проектирования

в представлении имеет матричные элементы

Следовательно,

С помощью основных наблюдаемых можно построить любой оператор представляющий различные динамические переменные системы. Всякий раз нетрудно проверить, что эти операторы эрмитовы. Для полноты следует показать, что они являются наблюдаемыми. Обычно в квантовой теории проходят мимо этих тонкостей и принимают без обсуждения, что все эрмитовы операторы, представляющие физические величины, являются наблюдаемыми.