§ 9. «Представление» Шредингера

Вывод уравнения Шредингера завершает изложение общей схемы описания квантовых явлений, которую мы привели в этой главе. Резюмируем эту схему следующим образом.

1°. Определение динамических состояний

Динамическое состояние квантовой системы определяется заданием точных значений динамических переменных, входящих в полный набор совместных переменных. Осуществляя одновременное измерение переменных полного набора, мы однозначно определяем состояние системы в момент когда производится измерение.

2°. Определение пространства состояний

Каждое состояние может быть представлено (принцип суперпозиции) кет-вектором (нормированным на единицу и определяемым с точностью до фазового множителя) некоторого векторного пространства Каждая динамическая переменная представляется наблюдаемой из этого пространства; состояниями, в которых динамическая переменная имеет определенные значения, являются состояния, представляемые собственными векторами этой наблюдаемой, причем значения динамической переменной равны собственным значениям наблюдаемой, соответствующим указанным собственным векторам. Наблюдаемые удовлетворяют однородным алгебраическим соотношениям, которые можно установить, исходя из соотношений коммутации. Совместные переменные представляются коммутирующими наблюдаемыми.

3°. Определение вероятностей

Если произвести одновременное измерение полного набора совместных динамических переменных квантовой системы, то вероятность найти систему в состоянии , т. е. найти те значения динамических переменных, которые соответствуют состоянию равна квадрату абсолютного значения скалярного произведения вектора (нормированного на единицу), представляющего динамическое состояние системы в момент измерения, на вектор . В более общем случае вероятность

найти систему в подпространстве (т. е. найти систему в одном из состояний этого подпространства) равна среднему значению оператора проектирования на это подпространство именно

4°. Уравнение эволюции

В отсутствие всяких внешних воздействий динамическое состояние системы эволюционирует во времени строго причинным образом. Вектор представляющий это состояние в пространстве непрерывно изменяется, подчиняясь уравнению Шредингера (35). Другими словами, переход от состояния состоянию осуществляется с помощью унитарного преобразования (28), где есть унитарный оператор, определяемый уравнениями (32) и (33).

Зная динамическое состояние системы в начальный момент времени мы можем предсказать статистическое распределение результатов любых измерений системы в любой момент времени следующий за Действительно, динамическое состояние системы в момент начала измерения есть

и, следовательно, вероятность найти систему в наперед заданном состоянии равна

В принятой выше схеме описания явлений состояние физической системы представляется изменяющимся во времени кет-вектором Напротив, физические величины, по крайней мере те из них, которые не зависят явно от времени, представляются фиксированными наблюдаемыми пространства . Аналогично, собственные векторы наблюдаемых являются фиксированными векторами пространства именно таковы векторы в выражении (36). Этот способ описания квантовых явлений обычно называется «представлением» Шредингера.