§ 11. Алгебра проекторов

Проекторы, действующие в пространстве Гильберта, имеют простой геометрический смысл и поэтому представляют большой интерес. Приведем здесь основные положения алгебры этих операторов. Ввиду того, что доказательства в большинстве случаев вполне элементарны, мы ограничимся указанием только принципа, оставляя читателю возможность провести рассуждения до конца.

Пусть — операторы проектирования на подпространства пространства Гильберта Чтобы произведение

также было оператором проектирования необходимо и достаточно, чтобы коммутировали.

Условие это необходимо, ибо без него не был бы эрмитовым оператором. Но оно и достаточно, так как в этом случае эрмитов оператор, причем

Соответствующее подпространство есть пересечение подпространств , т. е. подпространство векторов, общих для . Здесь возможны два крайних случая: тот, когда идентично одному из двух указанных подпространств, и тот, когда пусто. В первом случае, например, является подпространством во втором — подпространства ортогональны.

Нетрудно, далее, доказать следующие два положения.

Чтобы было подпространстом е. чтобы каждый вектор подпространства был вектором подпространства необходимо и достаточно, чтобы

Чтобы были ортогональны, необходимо и достаточно выполнение равенства

В этом случае говорят, что проекторы ортогональны.

Что касается суммы проекторов, то здесь мы имеем важную теорему:

Пусть операторы проектирования на подпространства соответственно. Чтобы их сумма также была оператором проектирования, необходимо и достаточно чтобы эти операторы были попарно ортогональны. Подпространство, на которое осуществляется проекция, есть в этом случае прямая сумма, или объединение подпространств (т. е. множество векторов, получаемое линейной суперпозицией векторов, принадлежащих каждому из этих подпространств).

Условие ортогональности, очевидно, достаточно. Чтобы доказать его необходимость, достаточно доказать его для случая сумм двух операторов Оператор очевидно, эрмитов. Чтобы выполнялось условие необходимо, чтобы Умножная это уравнение на сначала слева, а потом справа, получаем

откуда

Оператор из уравнения (37) является примером суммы ортогональных проекторов. Операторы проектирования фигурирующие в этой сумме, являются элементарными проекторами. Ясно, что пространство на которое осуществляется проектирование, является объединением пространств, на которые проектируют отдельные операторы, входящие в сумму. Будучи объединением N одномерных пространств, пространство имеет N измерений, а оператор является суммой N элементарных ортогональных проекторов.

Если то представляется в этой форме бесчисленным числом способов. Действительно, обозначим символом последовательность из N ортонормированных векторов, принадлежащих Последовательность образует базисную систему векторов в в том смысле, что каждый вектор из может быть линейно выражен через эти N векторов; условимся считать тождественными базисные системы, векторы

которых отличаются только фазовыми множителями или порядком расположения в последовательности. При этом очевидно, что

и существует столько выражений для сколько существует различных базисных систем.

Эти рассуждения без труда обобщаются на случай, когда подпространство на которое осуществляется проектирование, обладает бесконечным числом измерений. В теории пространства Гильберта доказывается, что всегда можно сделать выбор в (и бесчисленным числом способов) базисной системы содержащей бесконечную счетную последовательность ортонормированных векторов. Проектор Р на может быть представлен в виде ряда из элементарных ортогональных проекторов

Однако в можно построить и базисную систему, содержащую кет-векторы, зависящие от непрерывного индекса. Предположим, например, что существует множество (бесконечное континуальное) векторов с бесконечной нормой, зависящих от непрерывно изменяющегося индекса и удовлетворяющих условиям «ортонормированности» (38), и предположим также, что подпространство 5 образовано множеством векторов с конечной нормой, образованных путем линейной суперпозиции кет-векторов из некоторой области . В этом случае Р можно также представить в виде (39):

В этой форме Р все еще можно рассматривать как сумму ортогональных проекторов. Разделим область интегрирования на некоторое число частичных областей. Тогда Р есть сумма проекторов, полученных при интегрировании по каждой из этих частичных областей. Эти подобласти могут быть выбраны сколь угодно малыми. Обозначим символом оператор, полученный интегрированием по бесконечно малому интервалу

тогда Р есть сумма бесконечно большого числа операторов . Мы будем называть операторы типа дифференциальными проекторами; пространство проекции, соответствующее оператору этого типа, имеет бесконечное число измерений.