§ 15. Общее правило построения уравнения Шредингера по принципу соответствия

Обобщая операцию соответствия, можно сформулировать метод получения уравнения Шредингера, приложимый в самых общих случаях.

Рассмотрим классическую динамическую систему, уравнения движения которой получаются из функции Гамильтона Эта функция зависит от координат системы в пространстве конфигураций, от соответствующих импульсов и от времени t. Полная энергия системы есть

Этой классической системе мы ставим в соответствие квантовую систему, динамическое состояние которой представляется

волновой функцией определенной в конфигурационном пространстве. Волновое уравнение получается путем замены в обеих частях соотношения (27)

Подразумевается, что результат действия обеих частей равенства (27), рассматриваемых как операторы, на один и тот же. Запись этого обстоятельства дает уравнение Шредингера квантовой системы:

Оператор называется оператором Гамильтона или гамильтонианом рассматриваемой системы.

Важно отметить, что сформулированное правило соответствия не определяет уравнение Шредингера единственным образом. Имеются две причины, приводящие к неоднозначностям.

Первая причина состоит в том, что указанное выше правило не инвариантно по отношению к замене переменных в конфигурационном пространстве. Проиллюстрируем это обстоятельство на простом примере свободной частицы в пространстве двух измерений. Исходя из функции Гамильтона в декартовых координатах, мы получаем уравнение

Если же перейти к полярным координатам то нетрудно получить после простых вычислений следующее уравнение для волновой функции рассматриваемой как функция полярных координат:

Если же правило соответствия применить непосредственно в функции Гамильтона, выраженной в полярных координатах то мы получим другое уравнение, а именно

Чтобы избежать подобной неоднозначности, мы условимся применять правило (28) только в том случае, когда координаты суть декартовы координаты.

Вторая причина неоднозначности связана с тем обстоятельством, что согласно правилу (28) мы вместо классических величин, подчиняющихся обычной алгебре, подставляем операторы, которые в общем случае между собой не коммутируют. Поэтому, вообще говоря, эквивалентным формам функции Гамильтона могут соответствовать различные гамильтонианы. Так, двум эквивалентным классическим выражениям для кинетической энергии (одномерная задача), и соответствуют операторы которые отличаются на величину

Никакое правило, основанное на соответствии с классической механикой, не может разрешить этих противоречий, ибо они проистекают из некоммутативности операторов, которая, в свою очередь, связана с существованием кванта действия Следует поэтому фиксировать форму функции Гамильтона эмпирическим путем. Во всех случаях, имеющих практический интерес, надлежит действовать согласно следующим предписаниям.

В декартовых координатах функция Гамильтона представляется в виде суммы следующих членов: квадратичной по формы (не зависящей от q), некоторой функции, зависящей только от , возможно, линейной по функции вида . Если функция Гамильтона приведена в этом виде, то последний член в сумме заменяется на «симметризованное» выражение а затем применяется правило соответствия (28).

«Симметризация» членов, линейных по как мы увидим в гл. IV, есть необходимое условие согласованности статистического истолкования волновой функции. Примером системы, при

рассмотрении которой необходима указанная манипуляция, является частица в электромагнитном поле (уравнения (25) и (26)).

Закончим этот параграф важным примером. Напишем уравнение Шредингера для сложного атома, состоящего из ядра с зарядом и массой М и электронов с зарядом и массой . Функция Гамильтона включает членов кинетической энергии, членов кулоновского взаимодействия электронов с ядром и членов кулоновского отталкивания между парами электронов, т. е.

Отсюда мы получаем уравнение Шредингера

где оператор в есть оператор Лапласа по отношению к вектору а оператор ; есть оператор Лапласа по отношению к радиусу-вектору электрона.

В частности, в случае атома водорода уравнение записывается в виде

(здесь М — масса протона, — его радиус-вектор, а — радиус-вектор электрона). В первом приближении можно считать, что протон имеет бесконечную массу, и рассматривать атом водорода как электрон, находящийся в притягивающем кулоновском поле причем обозначает положение электрона в системе координат, начало которой совпадает с положением протона (по предположению — неподвижного). Волновая функция электрона удовлетворяет уравнению Шредингера: