§ 23. Характеристические свойства матрицы плотности

Оператор матрицы плотности является положительно определенным эрмитовым оператором (ср. § VII. 8), след его равен 1.

Действительно, исходя из самого определения по уравнению (63), находим при любых

Кроме того, поскольку все положительны и поскольку (неравенство Шварца) имеем

Иначе говоря, оператор также является положительно определенным.

В общей теории гильбертова пространства показывается, что положительно определенный эрмитов оператор с конечным следом является наблюдаемой с чисто дискретным спектром. Собственные значения все заключены между 0 и 1.

Обратно, всякий положительно определенный эрмитов оператор со следом 1 можно рассматривать как оператор матрицы плотности. Действительно, такой оператор есть наблюдаемая и его можно записать в виде

где — отличные от нуля собственные значения, — операторы проектирования на соответствующие подпространства. Если ни одно из собственных значений не вырождено, то каждое есть элементарный проектор так что

Поскольку величины обладают свойствами статистических весов

следовательно, есть оператор плотности смешанного состояния, образованного из векторов статистическими весами Читатель может сам распространить это рассуждение на случай, когда некоторые собственные значения оказываются вырожденными.