§ 8. Точное выражение соотношений неопределенности координата-импульс
Чтобы сократить изложение, мы рассмотрим детально только случай частицы в одном измерении. Примем следующее определение: 
являются средними квадратичными
отклонениями распределений 
Применяя обозначения § 5, имеем
Величина 
таким образом, непосредственно связана с измерением положения частицы: это статистическая флуктуация результата измерения около среднего значения 
то же замечание относится к 
если иметь в виду измерение импульса. Мы покажем, что при самых общих предположениях
Рассмотрим положительно определенное выражение
Раскрывая это выражение и интегрируя по частям, последовательно получаем
что дает, предполагая 
нормированной на единицу и используя результаты § 5,
Ввиду того, что полином второго порядка 
является положительно определенным (или равным нулю), его дискриминант 
отрицателен (или равен нулю), следовательно
Условие (30) менее ограничительно, чем объявленное выше условие (28). Но можно провести аналогичное вычисление, исходя из слегка отличного выражения для 
, а именно, заменяя в формуле для 
величину х на 
на 
или, что то же самое, заменяя 
на 
Результат аналогичен уравнению (29):
Условие (28) выражает тот факт, что дискриминант этого многочлена второго порядка по X не может быть положительным.
Предшествующее доказательство применимо также и к случаю частицы в трехмерном пространстве. Волновая функция 
есть функция трех координат частицы в этом пространстве и интегралы, встречающиеся по ходу доказательства, суть интегралы по трехмерному пространству конфигураций; читатель легко проверит, что все манипуляции с этими интегралами остаются в силе. Само определение (27) средних квадратичных отклонений обобщается без труда. Таким образом, получаются соотношения неопределенности Гейзенберга
