§ 3. Введение операторов

Определим операторы а и формулами

операторы а и эрмитово сопряжены друг другу. Соотношение коммутации (7) эквивалентно соотношению

Если в определении (6) выразить через а и , то получим

Положим

тогда из (10) и (11) находим

Из уравнений (10) и (12) получаем важные соотношения:

Задача на собственные значения, которую мы решаем, эквивалентна задаче построения собственных векторов оператора определенного формулой (12), причем операторы а и а+ эрмитово сопряжены друг другу и удовлетворяют условию (10).

Докажем основную теорему.

Если есть собственный вектор оператора соответствующее собственное значение, то

б) если то в остальных же случаях есть отличный от нуля вектор с нормой

причем это собственный вектор оператора принадлежащий собственному значению

в) вектор отличен от нуля, его норма равна

причем это собственный вектор оператора принадлежащий собственному значению

По предположению

Пользуясь определением (12) и коммутационным соотношением (10), находим нормы векторов

Однако, норма вектора в пространстве Гильберта либо положительна, либо равна нулю, причем равенство нулю нормы является необходимым и достаточным условием равенства нулю вектора. Чтобы этот основной постулат выполнялся в нашем случае, необходимо и достаточно, чтобы (свойство а)). Условие равенства нулю вектора есть частный случай уравнения (15а). С другой стороны, векторы действительно удовлетворяют уравнениям на собственные значения теоремы, так как, согласно (14а) и (146),

что и требовалось доказать.