§ 16. Волновая механика

Волновая механика является частной формулировкой квантовой теории, когда принимается «представление» Шредингера и выбирается представление, в котором диагональными являются операторы координат.

Вернемся к квантовой системе, обладающей классическим аналогом, с N степенями свободы, которая рассматривалась в § 7. Координаты образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых и определяют представление Это представление уже использовалось выше при построении самого пространства При подходящем выборе фаз и нормировки базисных векторов мы получили очень простые выражения для матричных элементов операторов (уравнения (26-27)).

Основными уравнениями представления являются соотношения ортонормированности (25) и соотношение замкнутости, которое в сокращенных обозначениях § 7 записывается в форме

Каждый кет-вектор представляется матрицей с одним столбцом и компонентами Эта функция координат в конфигурационном пространстве, которую можно записать в виде и есть волновая функция, представляющая динамическое состояние системы на языке волновой механики:

Скалярное произведение на равно скалярному произведению соответствующих волновых функций в том виде, как оно определялось в волновой механике:

Проверим тождественность операторов волновой механики и матриц, представляющих наблюдаемые в -представлении.

Пользуясь выражением (26) для матрицы наблюдаемой убеждаемся, что представляется волновой функцией

и вообще действие некоторой функции от координат пространства конфигураций на кет-вектор сводится к умножению на

Далее, пользуясь явным выражением (27) для матрицы, представляющей наблюдаемую убеждаемся, что состояние представляется волновой функцией:

Следовательно, наблюдаемая представляется операцией частного дифференцирования волновой функции, стоящей справа от оператора

Таким образом, интересующая нас тождественность без труда проверяется для функций координат (уравнение (60)) и для составляющих импульса (уравнение (61)). Но поскольку всякая наблюдаемая выражается некоторой алгебраической функцией от и мы приходим к общему заключению: любая

физическая величина в волновой механике представляется оператором

В качестве примера рассмотрим энергию Н. Если предположить, что потенциальная энергия не зависит от времени, то наблюдаемая Н имеет вид

Матрица, задающая энергию в представлении имеет форму

Выражение в квадратных скобках является оператором, действующим на как функцию Следовательно, вектор представляется волновой функцией:

Если, наконец, в «представлении» Шредингера, написать фундаментальное уравнение движения (35) в представлении то мы получим уравнение Шредингера в его обычной форме

Это завершает доказательство того, что волновая механика представляет собой, формулировку квантовой теории в представлении и «представлении» Шредингера.