§ 17. Дополнительные переменные. Совместные переменные

Описание явлений микроскопической физики осуществляется на основе дополнительных элементов, т. е. элементов, дополняющих друг друга при составлении классической картины явления, но определяемых с помощью взаимоисключающих экспериментальных устройств.

Координата х и импульс образуют пару дополнительных элементов в указанном выше смысле. Точные измерения требуют использования несовместимых измерительных устройств, так что одновременное измерение этих двух величин не может быть осуществлено с точностью превышающей Это следует из изложенного в §§ 13 и 14 материала. Взаимоисключающий характер экспериментальных устройств, служащих для измерения особенно хорошо проявляется в случае измерений с диафрагмой (§ 13, а). Диафрагма, применявшаяся для измерения положения электрона, может быть использована и для измерения импульса: для этого достаточно определить импульс, передаваемый экрану при столкновении с электроном. Но поскольку ансамбль электрон экран образует неделимую квантовую систему и нет возможности провести строгое различие между составляющими частями, нельзя использовать классический язык и говорить о независимой эволюции электрона (измеряемая система) и экрана (измерительный инструмент), не допуская, что их взаимодействие имеет неконтролируемый характер. Если мы хотим знать х с точностью то мы не в состоянии контролировать передачу импульса экрану с точностью, превышающей . Если же мы желаем измерить с точностью и снабжаем экран всеми необходимыми приспособлениями для точного измерения передаваемого импульса, то оказывается невозможным контролировать положение экрана с точностью, превышающей что ограничивает наши сведения об х (см. задачу 10).

Говорят, что образуют пару дополнительных переменных. Сам принцип дополнительности часто выражают в следующей, более строгой форме:

описание физических свойств микроскопических объектов на классическом языке требует использования пар дополнительных переменных, причем каждый член пары определяется тем точнее, чем менее точно определяется другой.

Эта формулировка подчеркивает главное отличие между квантовой и классической механикой, а именно, тот факт, что все динамические переменные квантовой системы не могут быть одновременно определены с идеальной точностью.

Мы скажем, что две динамические переменные являются совместными, если они могут быть одновременно точно определены. В гл. V мы увидим, что в самом общем случае две совместные переменные представляются коммутирующими линейными операторами. Так, координаты частицы х и у являются совместными переменными. Особенно важную роль играют полные наборы совместных переменных они составлены из попарно совместных переменных и обладают тем свойством, что любая другая переменная, совместная с каждой

переменной набора, является функцией а тих переменных . Рассмотрим в качестве примера квантовую систему, состоящую из одной частицы. Три переменных положения х, у, z образуют полный набор совместных переменных. Действительно, все три эти переменные могут быть одновременно измерены. Далее, всякая динамическая переменная является некоторой функцией но совместными с х, у, z будут только те переменные, которые не зависят от так как каждая из этих последних величин несовместна с х, у, z соответственно. Таким образом, общий вид динамической переменной, совместной с х, у, z, есть . Переменные х, у, z образуют полный набор, то же самое можно сказать относительно переменных (задание этих трех переменных полностью определяло динамическое состояние системы до измерения в примерах § 14). Точное измерение полного набора совместных переменных системы дает тот максимум информации о системе, который вообще можно получить. Это измерение полностью определяет динамическое состояние системы; ему соответствует определенная волновая функция. Мы вернемся к этому вопросу в гл. V (§ 15 и 16).