§ 4. Решение уравнения Шредингера в сферических координатах

Для решения уравнение Шредингера воспользуемся сферическими координатами; как и в случае любого центрально-симметричного потенциала угловые и радиальные переменные в этой системе координат разделяются, и проблема сводится к нахождению регулярных решений радиального уравнения (4). Решение уравнения Шредингера можно осуществить также в параболических координатах — в этой системе координат переменные также разделяются. Здесь мы ограничимся только упоминанием этого важного обстоятельства и рассмотрим задачу в сферических координатах.

Если произвести замену переменной

то уравнение (4) будет зависеть только от безразмерного параметра

где х и а определяются уравнениями (6) и (8) соответственно. Уравнение (4) эквивалентно уравнению

где — решение, пропорциональное в окрестности начала координат. При очень больших это решение растет экспоненциально, за исключением ряда дискретных значений при которых оно ведет себя как Наша цель состоит в определении этих особых значений и соответствующих собственных функций.

Будем искать решение уравнения в виде

что дает

Это дифференциальное уравнение есть уравнение Лапласа (см. Дополнение Б, § 1). Оно имеет, с точностью до постоянного множителя, только одно решение, конечное в начале координат; все остальные решения имеют сингулярность типа Указанное регулярное решение представляется вырожденной гипергеометрической функцией

Чтобы доказать это, будем искать решение уравнения (12) в виде ряда Тейлора вблизи начала координат:

Подставляя это разложение в уравнение (12) и приравнивая нулю коэффициенты при степенях х в левой части уравнения, находим

откуда получаем

следовательно, действительно является коэффициентом при в гипергеометрическом ряде (13).

В общем случае ряд (13) является бесконечным и при ведет себя как (уравнения (Б.9-11)), Поэтому в

асимптотической области ведет себя как и задача на собственные значения не имеет решения.

Однако при некоторых особых значениях коэффициенты ряда, начиная с некоторого, обращаются в нуль, и гипергеометрический ряд сводится к полиному. Для этого необходимо, чтобы было равно целому отрицательному числу или нулю, т. е.

В этом случае гипергеометрический ряд сводится к полиному степени радиальная функция при ведет себя как и решение уравнения Шредингера оказывается приемлемым в качестве собственного решения.

Условие квантования (14) дает уровни энергии связанных состояний с моментом импульса Каждый из них определяется значением целого числа Волновая функция соответствующего связанного состояния (не нормированная) строится с помощью радиального решения

Полином степени в правой части этого равенства, есть (сточностью до постоянного множителя) обобщенный полином Лагерра определение которого и основные свойства приводятся в дополнении Б (§ 2).