Эволюция 
во времени дается уравнением
(это уравнение не следует смешивать с уравнением (42)).
Уравнения (78) и (79) являются классическими аналогами уравнений (65) и (68) соответственно. Мы переходим от выражений классической теории к выражениям теории квантовой, заменяя обычные величины наблюдаемыми, скобки Пуассона — коммутаторами (с учетом множителя 
), а интегрирование по всему фазовому пространству заменяется операцией вычисления следа оператора.
Эта новая формулировка принципа соответствия оказывается чрезвычайно полезной при распространении на квантовую область основных результатов классической статистической термодинамики. Большинство классических выводов могут быть воспроизведены без изменения. Ограничимся тем, что укажем основные результаты.
Состояние квантовой системы в термодинамическом равновесии при температуре Т представляется оператором
где Н — гамильтониан системы, 
— постоянная Больцмана. Постоянная нормировки определяется из условия 
Различные термодинамические функции системы вычисляются, как и в классической теории, с помощью статистической суммы
Так, для свободной энергии энтропии 5 и энергии Е получаем следующие выражения, записанные для 
Энтропия системы согласно принципу соответствия, вообще говоря, равна среднему значению оператора 
это значит
Равновесное распределение (80) получается без труда: это распределение, соответствующее заданному среднему значению энергии, для которого энтропия имеет максимальное значение.
в точке равна вероятности найти систему в состоянии, определяемом этой точкой.
и оператором матрицы плотности 
квантовой теории. Плотность 
является вещественной положительной величиной, причем интеграл от нее по всему фазовому пространству равен единице
есть эрмитов оператор с положительными собственными значениями (положительно определенный оператор), след которого равен 1.
в некоторый момент времени, можно получить среднее значение 
любой функции 
динамических переменных 
интегрируя 
по всему фазовому пространству
