§ 3. Скачок потенциала. Отражение и прохождение волн

Простейшим примером прямоугольного потенциала является резкий скачок потенциала представленный на рис. 8.

Будем считать для определенности, что

Возможны два случая:

a) . Общее решение имеет осцилляторный характер в области и экспоненциальный характер в области II Чтобы это решение могло явиться приемлемой собственной функцией необходимо, чтобы в области II оно было экспоненциально затухающим. Всегда существует одна и только одно решение, удовлетворяющее этому условию. Каждое значение в указанном интервале является невырожденным собственным значением: спектр энергии непрерывный невырожденный. Общее решение имеет вид:

Рис. 8. Скачок потенциала.

Условия непрерывности определяют у с точностью до постоянной. Вместо того, чтобы рассматривать непрерывность функции и ее производной, удобнее потребовать непрерывности функции и ее логарифмической производной Непрерывность логарифмической производной определяет фазу

Ф определяется с точностью до слагаемого , так как замена на эквивалентна замене знака амплитуды Примем для значение

причем выражает значения этой функции в интервале .

Непрерывность функции определяет отношение именно

б) Общее решение имеет осцилляторный характер во всем пространстве и является поэтому допустимой собственной функцией. Каждому значению соответствуют две линейно независимые собственные функции; спектр собственных значений непрерывный двукратно вырожденный.

Образуем собственную функцию, поведение которой в области II имеет вид Она определяется с точностью до постоянной, которую мы выберем так, чтобы коэффициент при члене в области был равен единице. Иначе говоря

Постоянные (вообще говоря, комплексные) определяются условиями непрерывности в точке Непрерывность логарифмической производной дает

а непрерывность самой функции —

Комплексно сопряженная функция есть собственная функция, линейно независимая с Все собственные функции, соответствующие собственному значению могут быть записаны как линейные комбинации

Сравним полученные результаты с теми, которые дает классическая механика. Движение классической частицы в рассматриваемом потенциале различно в случаях а) и б).

В случае а) классическое движение соответствует движению частицы с энергией . Частица, приходя из пробегает положительную полуось с постоянной скоростью в направлении уменьшения х, затем упруго отражается от точки и уходит обратно с той же скоростью в бесконечность. Чтобы описать аналогичное движение в волновой механике, следует построить волновой пакет из волн типа с близкими энергиями. Вместо функции (6) удобнее использовать волну

получаемую, если у разделить на мы пишем индекс чтобы указать, что это собственная функция, соответствующая

собственному значению е. Рассмотрим волновой пакет

Функция есть достаточно регулярная действительная функция обладающая резким максимумом при (штрих здесь не имеет отношения к производной по смысл величин и их взаимные связи очевидны). Дабы устранить ненужные сложности, примем, кроме того, что обращается в нуль при Таким образом, функция образована суперпозицией собственных функций случая а) с характерным множителем учитывающим зависимость от времени. По самому построению является решением уравнения Шредингера, зависящего от времени. Нетрудно представить себе, как эта функция меняется во времени, если обратиться к исследованию свободных волновых пакетов (гл. II).

В области I решение есть суперпозиция двух величин: «падающего волнового пакета»

центр которого перемещается со скоростью в отрицательно» направлении и достигает точки в момент и «отраженного волнового пакета»

центр которого перемещается со скоростью в противоположном направлении и покидает начало координат в момент

который отличается от момента прихода «падающего волнового пакета» в точку Движение центра волнового пакета, таким образом, почти идентично движению классической частицы. Единственное отличие состоит в запаздывании которое обнаруживает центр пакета при отражении отточки разрыва непрерывности потенциала тогда как отражение классической частицы происходит мгновенно. Заметим по этому поводу, что само рассмотрение движения центра пакета имеет.

смысл только, если форма пакета не слишком меняется за время движения. Это условие выполняется в случае падающего волнового пакета, пока его центр отстоит от начала координат на расстоянии, большем, чем ширина пакета А. Чтобы то же условие выполнялось для отраженного волнового пакета необходимо, кроме того, Чтобы ширина максимума функции была достаточно малой. При этом фаза не меняется заметно в области, дающей наибольший вклад в интеграл (9), если Поскольку пространственные размеры пакета порядка это условие можно записать в виде

Следовательно, Пакет волн настолько широк, что время, за которое он пересекает весь некоторую точку на оси, значительно больше запаздывания, вызванного отражением.

Помимо запаздывания имеется еще одно отличие между движением классической частицы и отражением квантового волнового пакета. Волна не всегда равна нулю в области II. Исследование, аналогичное вышеприведенному, показывает, что равна произведению фактора на величину, принимающую заметные значения в промежуток времени, близкий моменту - этот промежуток можно рассматривать как время столкновения с потенциальной «стенкой» в точке Таким образом, в этот момент времени существует отличная от нуля вероятность найти частицу в области II, в то время как классическая частица никогда не проникает в эту область.

Рассмотрим теперь случай б). В этом случае имеются два возможных классических движения, соответствующих одному значению энергии. В одном частица пробегает всю ось от до причем ее скорость, постоянная и равная в области меняется скачком от до в точке разрыва непрерывности потенциала; в дальнейшем частица движется со скоростью до Другое возможное движение есть в точности противоположное движение частицы, пробегающей ось х в положительном направлении со скоростью в области II и скоростью в области I.

Сравним эти классические движения с движениями волновых пакетов, находящихся в тех же начальных условиях. Сделаем это для первого из движений (перемещение в отрицательном направлении). Действуя соответственно случаю а), образуем волновой пакет, аналогичный формуле (9), как суперпозицию собственных функций, соответствующих собственным

значениям, близким е. Снабдим собственную функцию типа (7) индексом чтобы отметить, что она зависит от энергии. A priori пакет должен включать суперпозицию функций Но чтобы осуществить желаемые начальные условия, пакет должен содержать только функции что будет видно из дальнейшего. Запишем поэтому

Единственное отличие от формулы (9) состоит в том, что максимум функции находится в области энергий б), а не в области а). Эволюция волнового пакета во времени исследуется аналогично формуле (9) и дает следующие результаты.

Мы констатируем, что начальные условия удовлетворяются, а именно при функция практически равна нулю в области II, а в области заметный вклад дает только член т. е. мы получаем волновой пакет, центр которого перемещается как классическая частица со скоростью в направлении уменьшения х и достигает начала в момент . В дальнейшем разделяется на два пакета: «проходящий волновой пакет»

центр которого строго следует движению классической частицы, и «отраженный волновой пакет»

центр которого движется так, как классическая частица, претерпевшая упругое отражение в точке Существует, таким образом, очень важное отличие от классического движения: квантовая «частица» имеет отличную от нуля вероятность «отразиться» при прохождении точки разрыва потенциала. Чтобы продолжить этот анализ, следует уточнить эту вероятность, что будет сделано в гл. IV. Отметим здесь без доказательства, что вероятность найти частицу в отраженной волне равна а вероятность найти ее в прошедшей волне равна (см. задачу IV.2). Эти результаты согласованы, так как сумма этих двух величин равна единице

что легко проверить, подставляя в это уравнение выражения (7а) и (76).

Величина

называется коэффициентом прохождения. Эта величина растет с энергией и стремится к 1, когда Можно сказать, что в этом пределе мы получаем результат классической механики.

Можно заметить, что Т есть симметричная функция Следовательно, волна той же энергии, но распространяющаяся в противоположном направлении (от области II к области имеет одинаковый коэффициент прохождения: он не зависит от направления движения.

Все эти результаты не могут очень удивить, если принять во внимание аналогию с распространением световой волны. Рассматриваемая выше задача вполне эквивалентна задаче о распространении светового сигнала в непоглощающей среде с переменным показателем преломления. В случае а) показатель переходит от действительного значения (среда I) к значению мнимому (среда II) в точке имеет место полное отражение. В случае б) показатель остается действительным, но значения его в средах и II различны: резкое изменение показателя сопровождается частичным отражением.