частицы 1 представляются некоторыми наблюдаемыми
действующими на функцию
рассматриваемую как функция
динамические переменные частицы 2 представляются наблюдаемыми
действующими на ту же функцию, но рассматриваемую как функция
Ясно, что каждая наблюдаемая
коммутирует с каждой наблюдаемой
Когда
имеет вид
действие наблюдаемых этого типа особенно просто; так, например,
равно произведению А на
Предшествующие замечания относятся к любым квантовым -системам, допускающим разделение на две более простые системы.
На абстрактном математическом языке, которым мы пользуемся в этой главе, тензорное произведение может быть определено следующим образом. Пусть мы имеем два векторных пространства
. Взяв один кет-вектор
из первого и один кет-вектор
из второго пространства, можно образовать произведение кет-векторов
Операция образования такого произведения коммутативна и мы используем обозначение
Кроме того, предположим, что эта операция дистрибутивна по отношению к сумме. Если
то
Аналогично, если
то
На кет-векторы
натянуто новое векторное пространство, пространство которое называется тензорным произведением векторных пространств и Если размерности этих пространств равны соответственно
то число измерений пространства-произведения равно
Однако операция образования тензорного произведения возможна и когда пространства обладают бесконечным числом измерений, как это показывает разобранный выше пример.
Каждому линейному оператору
пространства
соответствует линейный оператор пространства-произведения, который мы обозначим тем же символом. Если действие оператора
на любой
известно
то действие этого оператора на кет-векторы
пространства-произведения определяется формулой
а его действие на произвольный кет-вектор пространства-произведения получается с помощью линейной суперпозиции. Аналогично каждый линейный оператор
пространства
позволяет определить линейный оператор в пространстве-произведении.
Каждый из операторов
коммутирует с каждым из операторов
Нетрудно проверить, пользуясь самими определениями операторов
что действие коммутатора на всякий вектор
дает нуль:
В пространстве-произведении можно определить соответствие между кет- и бра-векторами, действие линейных операторов на бра-векторы и т. д. Алгебраические правила, указанные выше, остаются справедливыми для всех алгебраических операций в пространстве-произведении. Доказательство этих результатов не составляет труда и будет здесь опущено.