§ 6. Тензорное произведение двух векторных пространств

Чтобы завершить это введение в векторную алгебру, остается определить часто используемую операцию образования тензорного произведения двух векторных пространств.

Смысл и интерес этой операции можно иллюстрировать следующим примером. Рассмотрим квантовую систему, состоящую из двух частиц. Произведение волновой функции относящейся к первой частице, на волновую функцию относящуюся ко второй частице, представляет некоторое частное состояние этой системы (§ IV. 6). Самая общая волновая функция не есть указанное произведение функций, но может быть всегда представлена как линейная комбинация волновых функций такого вида. Одним из многочисленных способов добиться этого является разложение Т в ряд по полной системе ортонормированных функций поскольку коэффициенты такого ряда являются функциями каждый член ряда имеет форму указанного выше произведения. Таким образом, полное пространство волновых функций системы образовано линейными комбинациями произведений волновых функций, относящихся к каждой из отдельных систем Говорят, что пространство функций является тензорным произведением пространства функций и пространства функций

Произведения играют особую роль при изучении полной системы. Действительно, динамические переменные

частицы 1 представляются некоторыми наблюдаемыми действующими на функцию рассматриваемую как функция динамические переменные частицы 2 представляются наблюдаемыми действующими на ту же функцию, но рассматриваемую как функция Ясно, что каждая наблюдаемая коммутирует с каждой наблюдаемой Когда имеет вид действие наблюдаемых этого типа особенно просто; так, например, равно произведению А на

Предшествующие замечания относятся к любым квантовым -системам, допускающим разделение на две более простые системы.

На абстрактном математическом языке, которым мы пользуемся в этой главе, тензорное произведение может быть определено следующим образом. Пусть мы имеем два векторных пространства . Взяв один кет-вектор из первого и один кет-вектор из второго пространства, можно образовать произведение кет-векторов Операция образования такого произведения коммутативна и мы используем обозначение

Кроме того, предположим, что эта операция дистрибутивна по отношению к сумме. Если

то

Аналогично, если

то

На кет-векторы натянуто новое векторное пространство, пространство которое называется тензорным произведением векторных пространств и Если размерности этих пространств равны соответственно то число измерений пространства-произведения равно Однако операция образования тензорного произведения возможна и когда пространства обладают бесконечным числом измерений, как это показывает разобранный выше пример.

Каждому линейному оператору пространства соответствует линейный оператор пространства-произведения, который мы обозначим тем же символом. Если действие оператора на любой известно

то действие этого оператора на кет-векторы пространства-произведения определяется формулой

а его действие на произвольный кет-вектор пространства-произведения получается с помощью линейной суперпозиции. Аналогично каждый линейный оператор пространства позволяет определить линейный оператор в пространстве-произведении.

Каждый из операторов коммутирует с каждым из операторов

Нетрудно проверить, пользуясь самими определениями операторов что действие коммутатора на всякий вектор дает нуль:

В пространстве-произведении можно определить соответствие между кет- и бра-векторами, действие линейных операторов на бра-векторы и т. д. Алгебраические правила, указанные выше, остаются справедливыми для всех алгебраических операций в пространстве-произведении. Доказательство этих результатов не составляет труда и будет здесь опущено.