§ 13. Измерения положения в пространстве

а) Использование диафрагмы. Рассмотрим параллельный пучок моноэнергетических электронов. Ставится задача определить положение электронов вдоль оси перпендикулярной направлению пучка электронов. С этой целью на пути пучка ставится экран с отверстием (рис. 18). Если есть ширина отверстия, то положение электрона, проходящего диафрагму, определяется с точностью . Однако этот электрон представляется волной де Бройля с длиной прохождение диафрагмы сопровождается явлением дифракции, так что пучок «раскрывается» на угол а порядка

Рис. 18. Измерение положения с помощью диафрагмы.

Отсюда следует, что возникает составляющая а вдоль оси х и выполняется соотношение

Импульс электрона вдоль оси х, по предположению точно известный до операции измерения неконтролируемо изменяется на величину порядка в процессе измерения (т. е. при прохождении диафрагмы).

Важно убедиться здесь, что импульс, передаваемый электроном диафрагме в процессе измерения, не может быть определен

с точностью, превышающей иначе наши рассуждения не будут справедливы. Чтобы осуществить операцию измерения положения, диафрагма должна оставаться неподвижной, и ее положение (вдоль ) должно быть известно с точностью до причем должно быть значительно меньше ширины отверстия: Однако диафрагма, подобно электрону, также является квантовым объектом, ее импульс не может быть определен с точностью, превышающей так что мы имеем

Диафрагма может практически оставаться неподвижной в процессе измерения, если она достаточно тяжела; это ограничение не мешает самой операции измерения. Однако невозможно определить изменение импульса диафрагмы с точностью, превосходящей , следовательно,

Это рассуждение проясняет еще одно важное обстоятельство. Необходимо принять, что измерительный прибор сам является квантовым объектом и тоже удовлетворяет соотношениям неопределенности. Это предполагает, что соотношения неопределенности имеют универсальный характер. В противном случае физическая интерпретация квантовой теории должна была бы быть подвергнута глубокой ревизии.

Рис. 19 Измерение положения с помощью микроскопа.

б) Использование микроскопа.

Применение диафрагмы является, конечно, наиболее простым способом измерения положения объекта. Другой, менее прямой, но столь же успешный метод состоит в освещении объекта и наблюдении его изображения в микроскоп. Рассмотрим поэтому определение положения х электрона при наблюдении в микроскоп (рис. 19). Точность измерения ограничивается тем, что изображение каждой точки есть на самом деле дифракционное пятно конечных размеров. Если при оценке точности измерения исходить из размеров этого пятна, то , где А, есть длина волны используемого света, половина угла раствора пучка, рассеянного электроном и сфокусированного в микроскопе. Однако рассеяние света происходит отдельными квантами и сопровождается частично неконтролируемой передачей импульса (эффект Комптона). Этот эффект минимален, когда рассеиваемый свет содержит только один фотон; импульс последнего имеет точно определенную величину но направление

распространения определяется только с точностью до угла . Импульс, передаваемый электрону, характеризуется поэтому неопределенностью . Чем точнее измерение положения, тем больше этот эффект, и мы по-прежнему имеем

Можно возразить, что точность измерения х определяется не размерами дифракционного пятна, а точностью измерения центра этого пятна. Эта точность тем более велика, чем больше число N фотонов, принимающих участие в образовании пятна. По законам математической статистики ошибка при вычислении х должна быть в раз меньше, чем приведенная выше

Однако если передача импульса каждым фотоном характеризуется неопределенностью то неопределенность в импульсе, передаваемом N фотонами, будет в раз больше (сложение квадратичных ошибок), т. е.

Следовательно,