§ 15. Правила квантования Бора — Зоммерфельда

Старая квантовая теория по существу представляет собой общий метод вычисления квантованных величин, основанный на постулатах Бора и принципе соответствия. Процедура такова: предполагается, что системы материальных частиц подчиняются законам классической механики; постулируется, что из всех возможных решений уравнений движения должны быть отобраны только те, которые удовлетворяют некоторым правилам, вводимым Происходит отбор некоторого дискретного семейства движений, причем согласно гипотезе только эти движения и могут реализоваться на практике. Каждому из возможных движений соответствует определенное значение энергии; дискретный ряд получаемых значений энергии представляет собой спектр квантованных энергетических уровней. Аналогично получают дискретный спектр разрешенных значений для любого другого интеграла движения.

Определение «правил квантования» есть центральная проблема старой квантовой теории. Она решается по существу на основе интуиции: сначала постулируются правила, а затем спектры квантованных физических величин, следующие из этих

правил, сравниваются с экспериментальными значениями. При этом важную роль играет принцип соответствия.

Существует очень простая ситуация, когда этот принцип позволяет без труда получить искомый результат: это случай, когда классическое движение является периодическим, причем частота есть функция одной только энергии

Именно эта ситуация реализуется в атоме водорода (см. уравнение (8)). Пусть есть последовательность квантованных значений энергии. Можно считать, что энергия системы есть непрерывная функция квантового числа так что дискретность значений энергии является следствием дискретности значений аргумента Повторяя рассуждения § 13, касающиеся вычисления постоянной Ридберга, можно получить соотношение соответствия между классической и квантовой частотами (см. уравнение (10))

откуда получается правило квантования в

справедливое для больших значений Естественно распространить это правило на все значения и положить

( — есть минимальноезначение энергии классической системы). В случае атома водорода это правило квантования вновь приводит к формуле Бальмера.

Это правило применяется также и к периодическим системам с одной степенью свободы. В этом случае его можно выразить в форме, более удобной для обобщений. Пусть есть координата положения такой системы, — ее импульс, — полная энергия. Фазовое пространство имеет два измерения, а периодическое движение представлено замкнутыми кривыми в этом пространстве. Можно показать,

используя уравнения Гамильтона, что

где символ означает интегрирование по полному периоду движения с энергией Е (интеграл называется интегралом действия). Так мы получим правило квантования, эквивалентное правилу (16):

Формула определяет как разрешенные траектории в фазовом пространстве, так и соответствующие квантованные значения энергии. Это правило известно как правило квантования Бора — Зоммерфельда.

Вильсон и Зоммерфельд обобщили это правило на случай многопериодических систем. Это системы с несколькими степенями свободы, движение которых может быть представлено при соответствующем выборе обобщенных координат и обобщенных импульсов с помощью последовательности функций иначе говоря, траектории в фазовом пространстве таковы, что каждый импульс зависит только от соответствующей координаты. Каждая функция представляет периодическое движение с частотой движение всей системы является комбинацией периодических движений с частотами . В этом случае правилами квантования служат соотношений

R целых квантовых чисел определяют квантованные траектории системы и квантованные значения различных интегралов движения, таких как энергия, момент количества движения и т. д. Энергия рассматриваемая как функция переменных удовлетворяет условиям соответствия

В калестве приложения кратко рассмотрим квантование атома водорода. После выбора плоскости электронной орбиты мы получаем задачу, уравнения которой в полярных координатах уже были выписаны (уравнения (15)). Момент импульса

и энергия являются интегралами движения. Если фиксировать соответствующие значения и этих двух величин, мы получим возможную траекторию классического движения: это эллипс с эксцентриситетом

Компоненты импульса и являются функциями соответствующих им сопряженных координат. Действительно

Поэтому можно применить правила квантования Бора—Зоммер фельда:

где I — азимутальное квантовое число и — радиальное квантовое число являются целыми положительными числами (или нулями). Первое правило дает квантованное значение момента импульса (количества движения)

Второе же правило, после достаточно длинного, но нетрудного вычисления, приводит к соотношению

откуда, вводя «главное квантовое число» получаем формулу Бальмера

с тем же значением постоянной Ридберга, что и полученное ранее (уравнение (11)).

Квантованная энергия зависит только от суммы двух квантовых чисел Это свойство, характерное для кулоновского потенциала, связано с тем обстоятельством, что азимутальная и радиальная частоты равны друг другу: Энергии соответствуют квантованных орбит, определяемых значениями (по причинам, которые мы не будем здесь обсуждать, значение исключается); это эллипсы с эксцентриситетом Значение соответствует круговой орбите (см. рис. 6).

Те же правила квантования можно применить к релятивистским уравнениям движения и получить таким образом

релятивистские поправки в теории атома водорода. Получающееся значение постоянной Ридберга находится в еще лучшем согласии с опытом (см. сноску 14)). При этом происходит снятие «вырождения» уровня энергии: каждому значению соответствуют близких, но различных значений энергии, соответствующих различным значениям момента импульса На опыте действительно наблюдается тонкая структура спектра атома водорода, которая очень хорошо совпадает с теоретическими предсказаниями.

Рис. 6. Орбиты Бора основного уровня и двух первых возбужденных уровней атома водорода. Соблюдены относительные размеры орбит.

Обратимся теперь к проблеме пространственного квантования. Предшествующее рассмотрение, когда квантовались орбиты, лежащие в одной плоскости, не включало никакого выделенного направления и позволило определить только квантовые спектры скалярных величин, таких, как энергия или величина момента импульса Существует общее правило пространственного квантования для систем, обладающих аксиальной симметрией (например, атом в постоянном магнитном поле). В этом случае интегралом движения является — составляющая момента импульса по оси симметрии . В классической механике можно показать, что эта переменная является канонически сопряженной переменной фиксирующей ориентацию системы относительно оси Следовательно,

и поскольку постоянно

Составляющая момента импульса по направлению оси аксиальной симметрии системы равна целому числу (положительному или отрицательному) постоянных Планка . Число называется магнитным квантовым числом.