§ 17. Представление {р}

В качестве следующего примера возьмем представление в котором диагональными являются составляющие импульса. Пусть суть базисные векторы этого представления. Это общие собственные векторы наблюдаемых принадлежащие собственным значениям

Будем предполагать, что они ортонормированы

и удовлетворяют соотношению замкнутости

(мы используем здесь сокращенные обозначения индексов, подобно §§ 7, 16).

Согласно результатам § 6 волновая функция вектора в представлении есть

Эта величина если ее рассматривать как функцию и является элементом унитарной матрицы преобразующей матрицы представления в матрицы представления . Кет-вектор в этом последнем представлении описывается «волновой функцией в импульсном пространстве»

Очевидно, что есть образ Фурье (соответствующим образом нормированный) волновой функции конфигурационном пространстве:

Нетрудно проверить (это можно сделать и непосредственно), что действие оператора на функцию сводится к умножению на а действие оператора выражается взятием частной производной

Для иллюстрации выпишем в представлении уравнение Шредингера для частицы с массой в поле статического потенциала Энергия системы представляется наблюдаемой

Базисные векторы зависят от трех компонент импульса и удовлетворяют условиям ортонормированности и замкнутости:

Унитарная матрица преобразующая матрицы представления в матрицы представления дается формулой

Поэтому элементы матрицы в представлении можно записать в явном виде так:

Положим

тогда

так что элементы матрицы оператора Я в представлении записываются в форме

Пусть есть волновая функция в импульсном пространстве динамического состояния

Тогда уравнение Шредингера, имеющее в волновой механике вид

в представлении принимает форму интегро-дифференциального уравнения