§ 4. Описание рассеяния при помощи пучка волновых пакетов

Интуитивные рассуждения предыдущего параграфа некорректны по двум причинам.

Во-первых, вектор плотности потока не является простой суммой потоков от плоской волны и рассеянной волны. Необходимо учесть вклад интерференции между . В предшествующих рассуждениях явление интерференции не учитывалось.

Во-вторых, представление физической ситуации стационарной волной рассеяния

является идеализированным. На самом деле каждая частица, подвергающаяся рассеянию, должна представляться волновым пакетом, образованным суперпозицией стационарных волн типа (3), соответствующих волновым векторам, несколько отличающимся по величине и направлению от к. Этот пакет должен быть построен так, чтобы правильно учесть начальные условия задачи. Вследствие дисперсии по направлению импульса его поперечные размеры

ограничены и не превосходят размеров диафрагмы источника первоначального пучка. Вследствие же дисперсии по энергии пакет ограничен также и в продольном направлении и распространяется прямолинейно в направлении мишени со скоростью, равной групповой скорости

Удобно характеризовать траекторию частицы положением точки ее пересечения с плоскостью проходящей через рассеивающий центр перпендикулярно направлению распространения. Пусть — момент времени пересечения плоскости центром пакета в том случае, когда его движение не возмущается рассеивающим потенциалом; тогда закон движения центра пакета до столкновения может быть записан в форме

Начальный поток является в действительности потоком волновых пакетов указанного выше типа, перемещающихся параллельно друг другу со скоростью и отличающихся друг от друга только значениями параметров 6 и фиксирующих движение центров пакетов до столкновения.

Рис. 29. Схема эксперимента по рассеянию и характеристические длины в этом опыте.

В дальнейшем обсуждении будут рассматриваться следующие характеристические длины (рис. 29);

— средняя длина волны падающего волнового пакета; — поперечные и продольные размеры падающего пакета; а — размеры зоны рассеяния;

— расстояние регистрирующего прибора от зоны рассеяния.

Длины связаны соотношениями неопределенности с дисперсиями падающего пакета волн соответственно по направлению и энергии. Поскольку мы предполагаем, что направление распространения пакета и его энергия хорошо определены, необходимо

Чтобы само рассеяние не зависело существенным образом от конкретной формы волнового пакета, необходимо, кроме того, чтобы его размеры значительно превосходили размеры зоны рассеяния, т. е. той области пространства, где потенциал имеет отличную от нуля величину, т. е.

( см при рассеянии на атоме и см при рассеянии на ядре).

При этих предположениях, если прицельный параметр превосходит поперечные размеры пакета то падающий волновой пакет не касается

зоны рассеяния и движется все время как свободный волновой пакет. Если, напротив, он достигает зоны рассеяния в некоторый момент . В этот момент начинается собственно столкновение. Через достаточно большой промежуток времени волновой пакет вновь оказывается полностью вне зоны рассеяния, но теперь он состоит, вообще говоря, из двух частей: проходящего волнового пакета, форма и закон движения которого мало отличаются от первоначальных, и пакета волн, рассеянных в разных направлениях относительно первоначального (рис. 30).

Рис. 30. Схема процесса рассеяния волнового пакета: а) — до столкновения; б) — в момент столкновения; в) — после столкновения (заштрихована область, где действует отличный от нуля потенциал).

Детектирование рассеянных частиц осуществляется некоторым регистрирующим устройством (счетчики, фотопластинки и т. д.) в заданном направлении на некотором расстоянии порядка от центра рассеяния. Это расстояние не должно быть слишком большим, если мы не хотим принимать во внимание расплывание волнового пакета в ходе эксперимента (см. § VI.3):

Но это расстояние все же должно быть достаточно большим, чтобы распространение детектируемой волны не возмущалось присутствием потенциала зоны рассеяния,

и чтобы детектор не мог регистрировать частицы проходящего волнового пакета:

Заметим, что волна, рассеянная вперед не может быть отделена от проходящей волны.

Объединяя условия (4) — (8), получаем неравенства:

Формула (2) выражает эффективное сечение рассеяния только при том условии, что экспериментальное устройство, предназначенное для измерения этой величины, обеспечивает выполнение неравенств (9).

Кроме этого необходимо, чтобы волновые пакеты имели достаточно хорошо определенные направление движения и энергию, так как только в этом случае амплитуда рассеяния вообще имеет смысл. Функция должна оставаться практически постоянной и по модулю, и по фазе при изменении

энергии на величину порядка а угла падения — на величину порядка вблизи соответствующих средних значений.

Доказательство этого результата будет проведено в двух последующих параграфах.