Раздел II. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ГЕЙЗЕНБЕРГА

§ 7. Соотношения неопределенности координата-импульс квантовой частицы

Вернемся к определениям вероятностей § 2. Распределения будучи определены на основе одной и той же волновой функции не являются независимыми друг от друга, хотя функция может a priori быть любой функцией с интегрируемым квадратом. Одно из этих распределений всегда может быть выбрано произвольно с помощью соответствующего выбора функции если, например, мы задаемся некоторым распределением то достаточно выбрать волновую функцию с абсолютным значением, равным а именно при этом фаза а остается, конечно, полностью неопределенной. Но с помощью соответствующего выбора а мы уже не можем получить любое наперед заданное распределение хотя рассматриваемое как функционал а может изменяться в достаточно широких пределах. Тот факт, что всегда существует некоторая корреляция между распределениями является характерным для квантовой теории. Эта корреляция количественно выражается соотношениями неопределенности Гейзенберга.

Рассмотрим для начала частицу в одном измерении. Пусть х есть ее координата, импульс и пусть и

суть волновые функции, представляющие ее динамическое состояние в пространстве х и пространстве соответственно.

Результат Гейзенберга опирается на тот математический факт, что протяженность волны и ее образа Фурье в соответствующих пространствах не могут одновременно быть сделаны произвольно малыми. Если волна занимает область порядка в пространстве х, а волна область порядка в пространстве то произведение остается все время больше некоторой величины порядка

Этот результат мы уже встречали при построении волновых пакетов в теории волн вещества. Он проявился также, хотя и не столь явным образом, при обсуждении эволюции волновых пакетов, построенных с помощью состояний непрерывного спектра, в гл. III.

В справедливости соотношения (25) можно убедиться путем следующих полуколичественных рассуждений, которые только перефразируют аргументы, приведенные на стр. 60. Любая волна может быть представлена в виде суперпозиции плоских волн с длиной волны . Пусть характеризует размер области изменения параметра в этой суперпозиции. Чтобы волна оказалась локализованной в пространственной области необходимо, чтобы «конструктивное» согласие между фазами различных волн в суперпозиции осуществлялось именно в этой области, а вне ее интерференций между волнами должна иметь «деструктивный» характер. Число длин волн содержащихся в равно Чтобы различные плоские волны, формирующие могли взаимно погашать друг друга на границах интервала необходимо, чтобы это число волн изменялось по крайней мере на единицу, когда пробегает область своего изменения, т. е. должно выполняться условие . Поскольку дело идет только о порядке величин, опустим множитель и напишем просто

Отсюда, используя соотношение между импульсом и волновым вектором получаем неравенство (25).

Обычно величины называются неопределенностями координаты и импульса соответственно, и результат Гейзенберга выражается следующим образом: произведение неопределенностей координаты и импульса частицы всегда остается больше некоторой величины порядка

Проиллюстрируем этот результат несколькими примерами. Гауссовый пакет волн (не нормированный на единицу)

занимает область порядка около точки Волна

в пространстве импульсов, которая ему соответствует, занимает в пространстве импульсов область порядка около точки . Уменьшая , мы уменьшаем но при этом увеличиваем так что их произведение остается порядка

В качестве другого примера рассмотрим «прямоугольный сигнал» если

который отличен от нуля в области шириной 2а, окружающей точку . В этом случае имеем

Функция обнаруживает наличие резкого максимума в точке окруженного с двух сторон последовательностями нулевых минимумов (при ), разделенных максимумами, величина которых убывает как Можно сказать, что волна сконцентрирована между первыми нулями по обе стороны центрального максимума, т. е. в области Величина тем больше, чем меньше протяженность сигнала т. е.

На рис. 17 представлены графики как функции как функции для двух волновых пакетов, которые мы рассмотрели.

Все рассуждения, касающиеся протяженности волны а сравнении с протяженностью ее образа Фурье в соответствующем пространстве, без труда переносятся на трехмерный случай. Обозначим с помощью неопределенности трех пространственных координат, а с помощью неопределенности составляющих импульса. Корреляции между статистическими распределениями проявляются в существовании соотношений неопределенности:

До настоящего времени мы представляли соотношения неопределенности как соотношения по порядку величины. Это неизбежно, пока не установлено точное определение величин измеряющих различные неопределенности. Установив подходящее определение этих величин, мы придем к более строгим заключениям. Но хотя они и имеют определенные преимущества, необходимо особенно подчеркнуть, что главный смысл и значение соотношений неопределенности уже

проявляются в формулах, верных только по порядку величины. Ни при каких обстоятельствах мы не можем приписать квантовой частице одновременно строго определенной координаты и строго определенного импульса.

Рис. 17. Квадраты модулей волновых пакетов в случаях: а) гауссова волнового пакета; б) прямоугольного сигнала.

Представлять частицу как объект, обладающий точно определенными положением и импульсом, можно только в случае, когда величина кванта действия может считаться пренебрежимо малой, т. е. в области справедливости классической теории.