§ 10. Прохождение потенциального барьера

В качестве иллюстрации применим метод ВКБ к вычислению коэффициента прохождения частицей потенциального барьера, изображенного на рис. 25. В области (область I) при потенциал представляет собой положительную функцию, убывающую монотонно от значения до

Рис. 25. Потенциальный барьер

Пусть Е — энергия частицы, — точка на оси х, где . Точка разрыва а и граничная точка делят ось х на три области I, II и III. Предполагаем, что метод ВКБ применим в областях II и III.

Чтобы найти коэффициент прохождения, следует построить решение уравнения Щредингера, асимптотическая форма которого в области III выражается только прошедшей волной (распространяющейся в направлении возрастающих . В этой области решение ВКБ имеет форму (42). Условие, налагаемое на форму асимптотического решения, фиксирует его (с точностью до постоянного множителя) в виде

(фаза добавлена для удобства последующих вычислений) или

Согласно формулам согласования (49) — (50) это решение продолжается в область II решением

в этом выражении

Положим

В области 1 точное решение уравнения Шредингера имеет вид

Постоянные определяются условиями непрерывности волновой функции и ее логарифмической производной в точке а, т. е.

при этом есть сумма падающей и отраженной волн. Поскольку вещественна, падающая волна — дает поток Согласно уравнениям (53),

Так как поток в прошедшей волне равен коэффициент прохождения есть

Чтобы указанный метод вычисления был допустим, требуется, чтобы потенциал достаточно медленно изменялся в областях II и III, где использовалось приближение ВКБ (условие (47)), и чтобы в окрестности граничной точки с размерами в несколько «длин волн» потенциал мог быть представлен линейной функцией х. Тем самым требуется, чтобы барьер имел «ширину» по меньшей мере в несколько «длин волн», т. е. чтобы , а следовательно, чтобы коэффициент Т был очень малым .