§ 12. Отделение движения центра масс квантовой системы двух частиц

Чтобы рассмотреть ту же задачу в квантовой механике, мы вводим новые динамические переменные и Р, определенные уравнениями (II). Гамильтониан, в старых переменных выражавшийся формулой (41), теперь принимает форму (43). Соотношения коммутации таковы, как если бы мы имели две частицы в точках с импульсами и Р; единственно отличными от нуля коммутаторами являются

Все эти свойства чисто алгебраические и без труда проверяются с помощью уравнений (II).

Аналогично проверяется и выполнение уравнений (42) в квантовой механике, включая уравнение (42 д), причем нет необходимости изменять порядок фигурирующих в этих формулах операторов.

В новых динамических переменных гамильтониан может быть представлен как сумма двух членов: из которых первый,

зависит только от переменных центра масс, а второй,

только от переменных относительного движения. Векторы, образованные путем тензорного умножения собственных векторов наблюдаемой на собственные векторы наблюдаемой образуют полную систему собственных векторов наблюдаемой Н.

Таким образом, уравнение Шредингера в представлении записывается в виде

где обозначают операторы Лапласа по координатам соответственно. Это уравнение обладает полной системой собственных решений причем функции Ф и удовлетворяют соответственно уравнениям:

Собственная энергия полной системы равна сумме собственных энергий «отделенных» систем:

Если в начальный момент времени волновая функция является произведением вида , то это свойство факторизации сохраняется с течением времени; функция эволюционирует как волновой пакет, представляющий свободную частицу с массой М, а функция -как волна, представляющая частицу с массой в поле действия потенциала

На практике рассмотрение задачи двух тел, таким образом, сводится к исследованию движения частицы в поле потенциала т. е. к задаче, которую мы уже умеем решать в случае, когда этот потенциал является центрально-симметричным.