§ 2. Определение обобщенных функций

Обозначим с помощью или просто некоторую функцию непрерывных переменных отличные от нуля значения которой принадлежат ограниченной области изменения этих переменных и которая дифференцируема по этим переменным сколько угодно раз (бесконечно дифференцируемая функция с ограниченным носителем).

По определению обобщенная функция есть линейный и непрерывный функционал функций

Линейность означает, что для всех линейных комбинаций имеем

Непрерывность же означает, что для всякой последовательности функций такой что имеем

Всякой локально интегрируемой функции (т. е. функции, интеграл от которой 2) по конечному интервалу существует) соответствует обобщенная функция определяемая скалярным произведением

Две локально интегрируемые функции определяют одну обобщенную функцию, если они равны почти всюду (т. е. всюду, кроме множества точек меры нуль). В частности, волновые функции волновой механики (квадратично интегрируемые функции) определяют обобщенные функции.

Функция не может соответствовать никакой обобщенной функции, так как эта функция не интегрируема в точке . Но можно определить обобщенную функцию

где символ обозначает главное значение интеграла в смысле Коши:

«Функция» Дирака определяет обобщенную функцию согласно равенству

Аналогичным образом «функция» определяет обобщенную функцию

Замечание. Обобщенная функция может быть, вообще говоря, определена на более широком функциональном пространстве, чем пространство функций Действительно, если является линейным и непрерывным функционалом функций из функционального пространства, более широкого, чем пространство функций то функционал вполне определен, линеен и непрерывен в пространстве функций следовательно, есть обобщенная функция.

Примеры: 60 определена на пространстве функций непрерывных в точке

Обобщенная функция соответствующая квадратично интегрируемой функции, определена на пространстве квадратично интегрируемых функций:

Линейные и непрерывные функционалы волновых функций волновой механики являются обобщенными функциями частного вида.