§ 8. Эрмитовы (самосопряженные) операторы, положительна определенные операторы, унитарные операторы

По определению линейный оператор Н называется эрмитовым, если он является сопряженным самому себе

Оператор называется антиэрмитовым, если

Из этих определений нетрудно получить следующие свойства операторов.

Всякий линейный оператор может быть представлен (и единственным образом) в виде суммы двух операторов, одного эр-митового, а другого антиэрмитового

причем

Всякая линейная комбинация эрмитовых операторов с вещественными коэффициентами есть эрмитов оператор. Произведение НК двух эрмитовых операторов Н и К не обязательно эрмитово, ибо, согласно (24),

Оператор НК эрмитов только при условии, что Н и К коммутируют. Впрочем, коммутатор [Н, К] есть антиэрмитов оператор, и разложение (26) произведения НК записывается в виде

Оператор является эрмитовым оператором. С помощью двух различных кет-векторов можно образовать два эрмитовых оператора но произведение этих двух операторов пропорционально оператору который не является эрмитовым; таким образом, это произведение не эрмитов оператор (кроме случая, когда ортогональны друг другу, но в этом случае произведение равно нулю).

Говорят, что эрмитов оператор Н является положительно определенным, если

Оператор есть положительно определенный эрмитов, оператор.

Операторы этого типа обладают замечательными свойствами (см. задачи 7 и 8). В частности, если Н — положительно определенный эрмитов оператор, имеет место обобщенное неравенство Шварца

при любых равенство реализуется в том и только в том случае, когда пропорциональны друг другу. Кроме того, из равенства

необходимо следует

Оператор называется унитарным, если он является обратным к своему сопряженному:

Произведение двух унитарных операторов есть унитарный оператор. Действительно (свойства (15) и (24)),