§ 7. Полиномы Эрмита

Научная библиотека

Готовые сочинения

Готовые работы студентам

Заказать курсовую, реферат и тд.

zadania.to@gmail.com

Научная библиотека

Главная > Квантовая механика, Т.1

НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ

СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ

Раздел III. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР И ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА

§ 7. Полиномы Эрмита

Определение:

есть полином степени четности обладающий нулями:

Дифференциальное уравнение:

Производящая функция:

Рекуррентные соотношения:

Явные выражения шести первых полиномов Эрмита:

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

1

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
ПРЕДИСЛОВИЕ
ЧАСТЬ I. ФОРМАЛИЗМ И ЕГО ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
ГЛАВА I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Раздел I. КОНЕЦ КЛАССИЧЕСКОГО ПЕРИОДА
§ 2. Классическая теоретическая физика
§ 3. Успехи в изучении микроскопических явлений и появление квантов в физике
Раздел II. СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ, ИЛИ ФОТОНЫ
§ 5. Эффект Комптона
§ 6. Световые кванты и явления интерференции
§ 7. Заключение
Раздел III. КВАНТОВАНИЕ В АТОМНЫХ СИСТЕМАХ
§ 8. Атомная спектроскопия и трудности классической модели Резерфорда
§ 9. Квантование энергетических уровней атомов
§ 10. Другие примеры квантования: пространственное квантование
Раздел IV. ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ И СТАРАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
§ 11. Недостаточность классической корпускулярной теории
§ 12. Принцип соответствия
§ 13. Применение принципа соответствия при вычислении постоянной Ридберга
§ 14. Лагранжева и гамильтонова формы уравнений к лассической механики
§ 15. Правила квантования Бора — Зоммерфельда
§ 16. Достижения и ограниченность старой теории квантов
§ 17. Заключение
ГЛАВА II. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Раздел I. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА
§ 3. Свободный волновой пакет. Фазовая и групповая скорости
§ 4. Волновой пакет в медленно меняющемся поле
§ 5. Квантование уровней энергии атомов
§ 6. Дифракция волн вещества
§ 7. Корпускулярная структура вещества
§ 8. Универсальный характер дуализма волна — частица
Раздел II. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
§ 9. Закон сохранения числа частиц вещества
§ 10. Необходимость волнового уравнения и условия, которым оно должно удовлетворять
§ 11. Понятие оператора
§ 12. Волновое уравнение для свободной частицы
§ 13. Частица в области действия скалярного потенциала
§ 14. Заряженная частица в электромагнитном поле
§ 15. Общее правило построения уравнения Шредингера по принципу соответствия
Раздел III. СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
§ 16. Исследование стационарных состояний
§ 17. Общие свойства уравнения. Структура энергетического спектра
ГЛАВА III. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
Раздел I. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
§ 3. Скачок потенциала. Отражение и прохождение волн
§ 4. Бесконечно высокий потенциальный барьер
§ 5. Бесконечно глубокая потенциальная яма. Дискретный спектр
§ 6. Конечная потенциальная яма. Резонансы
§ 7. Прохождение прямоугольного потенциального барьера. Туннельный эффект
Раздел II. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
§ 8. Свойства вронскиана
§ 9. Асимптотическое поведение решений
§ 10. Структура спектра собственных значений
§ 11. Состояния непрерывного спектра: отражение и прохождение волн
§ 12. Число узлов связанных состояний
§ 13. Соотношения ортогональности
§ 14. Замечание по поводу четности
ГЛАВА IV. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОГО ДУАЛИЗМА И СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Раздел I. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИИ В ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКЕ
§ 2. Вероятности результатов измерения координаты и импульса частицы
§ 3. Сохранение нормы во времени
§ 4. Понятие потока
§ 5. Средние значения функций от r и от p
§ 6. Системы многих частиц
Раздел II. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ГЕЙЗЕНБЕРГА
§ 7. Соотношения неопределенности координата-импульс квантовой частицы
§ 8. Точное выражение соотношений неопределенности координата-импульс
§ 9. Обобщение: соотношения неопределенности для сопряженных переменных
§ 10. Соотношение неопределенности время-энергия
§ 11. Соотношения неопределенности для фотонов
Раздел III. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И МЕХАНИЗМ ИЗМЕРЕНИЯ
§ 12. Неконтролируемое возмущение в процессе измерения
§ 13. Измерения положения в пространстве
§ 14. Измерения импульса
Раздел IV. ОПИСАНИЕ ЯВЛЕНИЙ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ. ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТЬ И ПРИЧИННОСТЬ
§ 16. Описание микроскопических явлений и дополнительность
§ 17. Дополнительные переменные. Совместные переменные
§ 18. Корпускулярно-волновой дуализм и дополнительность
§ 19. Дополнительность и причинность
ГЛАВА V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ И ЕГО ИСТОЛКОВАНИЕ
Раздел I. ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ И ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 2. Пространство волновых функций
§ 3. Определение средних значений
§ 4. Отсутствие флуктуаций и проблема собственных значений
Раздел II. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА
§ 5. Собственные значения и собственные функции эрмитового оператора
§ 6. Разложение волновой функции в ряд по ортонормированным собственным функциям
§ 7. Статистическое распределение результатов измерений величины, оператор которой обладает полной системой собственных функций с конечной нормой
Раздел III. СТАТИСТИКА ИЗМЕРЕНИЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
§ 8. Трудности описания непрерывного спектра. Введение дельта-функции Дирака
§ 9. Разложение по собственным функциям в общем случае. Условие замкнутости
§ 10. Статистическое распределение результатов измерения в общем случае
§ 11. Другие методы исследования непрерывного спектра
§ 12. Комментарии и примеры
Раздел IV. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ
§ 13. Операция измерения и редукция волнового пакета. Идеальные измерения
§ 14. Коммутирующие наблюдаемые и совместные переменные
§ 15. Полные наборы коммутирующих наблюдаемых
§ 16. Чистые и смешанные состояния
Раздел V. АЛГЕБРА КОММУТАТОРОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 17. Алгебра коммутаторов и основные свойства коммутаторов
§ 18. Соотношения коммутации для момента импульса
§ 19. Изменение статистического распределения во времени. Интегралы движения
§ 20. Примеры интегралов движения. Энергия. Четность
ГЛАВА VI. КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД ВКБ
Раздел I. КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 2. Теорема Эренфеста
§ 3. Движение и расплывание волновых пакетов
§ 4. Классический предел уравнения Шредингера
§ 5. Кулоновское рассеяние. Формула Резерфорда
Раздел II. МЕТОД ВКБ
§ 7. Решения ВКБ в одном измерении
§ 8. Условия применимости приближения ВКБ
§ 9. Граничные точки и формулы согласования
§ 10. Прохождение потенциального барьера
§ 11. Уровни энергии в потенциальной яме
ГЛАВА VII. ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ А. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
§ 1. Принцип суперпозиции и представление динамических состояний векторами
Раздел I. ВЕКТОРЫ И ОПЕРАТОРЫ
§ 2. Векторное пространство. Кет-векторы
§ 3. Дуальное пространство. Бра-векторы
§ 4. Скалярное произведение
§ 5. Линейные операторы
§ 6. Тензорное произведение двух векторных пространств
Раздел II. ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ, ПРОЕКТОРЫ И НАБЛЮДАЕМЫЕ
§ 7. Сопряженные операторы и правила сопряжения
§ 8. Эрмитовы (самосопряженные) операторы, положительна определенные операторы, унитарные операторы
§ 9. Проблема собственных значений и наблюдаемые
§ 10. Проекторы (или операторы проектирования)
§ 11. Алгебра проекторов
§ 12. Наблюдаемые, обладающие только дискретным спектром
§ 13. Наблюдаемые в общем случае и обобщенное соотношение замкнутости
§ 14. Функции наблюдаемых
§ 15. Операторы, коммутирующие с наблюдаемой. Коммутирующие наблюдаемые
Раздел III. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
§ 16. Общее понятие о конечных матрицах
§ 17. Квадратные матрицы
§ 18. Бесконечные матрицы
§ 19. Представление векторов и операторов матрицами
§ 20. Преобразования матриц
§ 21. Смена представления
§ 22. Унитарные преобразования операторов и векторов
ГЛАВА VIII. ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ Б. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
Раздел I. ДИНАМИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 2. Определение вероятностей. Постулаты измерения
§ 3. Наблюдаемые квантовой системы и соотношения коммутации
§ 4. Соотношения неопределенности Гейзенберга
§ 5. Определение состояний и построение пространства
§ 6. Квантовая одномерная система, обладающая классическим аналогом
§ 7. Построение пространства состояний путем тензорного умножения более простых пространств
Раздел II. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
§ 8. Оператор эволюции и уравнение Шредингера
§ 9. «Представление» Шредингера
§ 10. «Представление» Гейзенберга
§ 11. «Представление» Гейзенберга и принцип соответствия
§ 12. Интегралы движения
§ 13. Уравнение эволюции средних значений и соотношение неопределенности время-энергия
§ 14. Промежуточные «представления»
Раздел III. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТЕОРИИ
§ 16. Волновая механика
§ 17. Представление {р}
§ 18. Пример: движение свободного волнового пакета
§ 19. Другие представления. Представление, в котором диагональна энергия
Раздел IV. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
§ 20. Системы с неполной информацией и смешанные состояния
§ 21. Матрица плотности
§ 22. Эволюция смешанного состояния во времени
§ 23. Характеристические свойства матрицы плотности
§ 24. Чистые состояния
§ 25. Классическая статистика и квантовая статистика
ЧАСТЬ II. ПРОСТЫЕ СИСТЕМЫ
ГЛАВА IX. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
Раздел I. ЧАСТИЦА В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ. ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ
§ 2. Гамильтониан частицы в сферических координатах
§ 3. Отделение угловых переменных. Сферические функции
§ 4. Радиальное уравнение
§ 5. Собственные решения радиального уравнения. Структура спектра.
§ 6. Заключение
Раздел II. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ. СВОБОДНАЯ ЧАСТИЦА
§ 7. Сферические функции Бесселя
§ 8. Свободная частица. Свободные плоские и сферические волны
§ 9. Разложение плоской волны по сферическим функциям
§ 10. Сферическая прямоугольная яма
Раздел III. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ. ОТДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС
§ 11. Отделение движения центра масс в классической механике
§ 12. Отделение движения центра масс квантовой системы двух частиц
§ 13. Система многих частиц
ГЛАВА X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ. ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И МЕТОД ФАЗОВЫХ СДВИГОВ
Раздел I. ЭФФЕКТИВНЫЕ СЕЧЕНИЯ И АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ
§ 3. Стационарная волна рассеяния
§ 4. Описание рассеяния при помощи пучка волновых пакетов
§ 5. Рассеяние волнового пакета на потенциале
§ 6. Вычисление эффективных сечений
§ 7. Столкновение двух частиц. Лабораторная система и система центра масс
Раздел II. РАССЕЯНИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ. ФАЗОВЫЕ СДВИГИ
§ 8. Разложение по парциальным волнам. Метод фазовых сдвигов
§ 9. Квазиклассическое представление рассеяния. Прицельный параметр
Раздел III. ПОТЕНЦИАЛ ОГРАНИЧЕННОГО РАДИУСА ДЕЙСТВИЯ
§ 10. Сдвиг фазы и логарифмическая производная
§ 11. Сдвиги фаз при низких энергиях
§ 12. Парциальные волны более высокого порядка. Сходимость ряда
§ 13. Рассеяние на твердой сфере
Раздел IV. РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ
§ 14. Рассеяние глубокой прямоугольной потенциальной ямой
§ 15. Общий закон резонансного рассеяния. Метастабильные состояния
§ 16. Наблюдение времени жизни метастабильных состояний
Раздел V. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ И СВОЙСТВА
§ 17. Интегральные представления фазовых сдвигов
§ 18. Зависимость фазовых сдвигов от формы потенциала
§ 19. Приближение Борна
§ 20. Теория эффективного радиуса действия. Формула Бете
ГЛАВА XI. КУЛОНОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Раздел I. АТОМ ВОДОРОДА
§ 2. Уравнение Шредингера для атома водорода
§ 3. Порядок величины энергии связи основного состояния
§ 4. Решение уравнения Шредингера в сферических координатах
§ 5. Спектр энергии. Вырождение
§ 6. Собственные функции связанных состояний
Раздел II. КУЛОНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ
§ 7. Кулоновская функция рассеяния
§ 8. Формула Резерфорда
§ 9. Разложение по парциальным волнам
§ 10. Разложение по сферическим функциям
§ 11. Модификация кулоновского потенциала короткодействующим взаимодействием
ГЛАВА XII. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Раздел I. СОБСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ГАМИЛЬТОНИАНА
§ 3. Введение операторов
§ 4. Спектр и базисная система оператора N
§ 5. Представление [N]
§ 6. Операторы рождения и уничтожения
§ 7. Представление {Q}. Полиномы Эрмита
Раздел II. ПРИЛОЖЕНИЯ И РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА
§ 8. Производящая функция собственных функций
§ 9. Интегрирование уравнений Гейзенберга
§ 10. Классический и квантовый осцилляторы
§ 11. Движение минимизирующего волнового пакета и классический предел
§ 12. Гармонические осцилляторы в термодинамическом равновесии
Раздел III. ИЗОТРОПНЫЕ МНОГОМЕРНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
§ 13. Общее исследование изотропного осциллятора в р измерениях
§ 14. Изотропный осциллятор в двух измерениях
§ 15. Изотропный осциллятор в трех измерениях
ДОПОЛНЕНИЕ А ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, «ФУНКЦИЯ» ДЕЛЬТА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 1. Понятие функционала и строгий подход к проблеме непрерывного спектра
§ 2. Определение обобщенных функций
§ 3. Линейная комбинация обобщенных функций
§ 4. Произведение двух обобщенных функций
§ 5. Ряды и интегралы обобщенных функций
§ 6. Дифференцирование обобщенных функций
Раздел II. СВОЙСТВА «ФУНКЦИИ» ДЕЛЬТА
§ 8. Представление в виде предела ядра интегрального оператора
§ 9. Основные свойства
§ 10. Производные
Раздел III. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 11. Преобразование Фурье. Определение
§ 12. Абсолютно интегрируемые функции f(x)
§ 13. Функции «хи» (основные функции)
§ 14. Преобразование Фурье обобщенных функций. Определение
§ 15. Обобщенные функции медленного роста
§ 16. Квадратично интегрируемые функции
§ 17. Преобразование свертки
ДОПОЛНЕНИЕ Б. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ФОРМУЛЫ
§ 1. Уравнение Лапласа и вырожденная гипергеометрическая функция
§ 2. Полиномы Лагерра
§ 3. Собственные функции водородоподобных атомов (теория Шредингера)
§ 4. Чисто кулоновская волна
§ 5. Сферические кулоновские функции
Раздел II. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
§ 6. Сферические функции Бесселя
Раздел III. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР И ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА
§ 7. Полиномы Эрмита
§ 8. Собственные функции гармонического осциллятора
Раздел IV. ПОЛИНОМЫ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА, СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 9. Полиномы и функции Лежандра
§ 10. Сферические функции
Раздел V РАЗЛОЖЕНИЯ И РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ