ГЛАВА VI. КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД ВКБ

Раздел I. КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ

§ 1. Общие соображения

При переходе к пределу законы квантовой механики должны переходить в законы механики классической. Принцип соответствия, игравший столь значительную роль при построении новой теории, и был призван обеспечить выполнение этого основного условия.

Классическая механика, следовательно, должна хорошо описывать физические явления во всех случаях, когда величиной кванта действия можно пренебречь. Предметом данной главы является выяснение вопроса о том, при каких условиях и в какой мере это классическое приближение оказывается справедливым.

Одним из проявлений конечной величины кванта действия является существование дискретного спектра собственных значений для некоторых наблюдаемых; интервалы между соседними собственными значениями оказываются порядка . Классическое приближение будет справедливым, если можно пренебречь величиной этих интервалов, что имеет место в случае достаточно больших квантовых чисел. Это условие, основанное на принципе соответствия, было использовано уже в старой квантовой теории при вычислении постоянной Ридберга и выводе правил квантования Бора — Зоммерфельда (см. § 1.13 и § 1.15). Однако указанное условие несомненно не является достаточным: некоторые чисто квантовые эффекты, такие, например, как соотношения неопределенности, никак не связаны с дискретной природой спектров. С более общей точки

зрения условия применимости классического приближения совпадают с условиями применимости геометрической оптики.

Классическое приближение может быть сформулирована двумя различными способами.

Первый способ, интуитивно наиболее ясный, основан на приближенном описании динамического состояния каждой частицы в любой момент времени заданием ее положения и скорости. Если бы постоянная была равна нулю, то это описание было бы вполне строгим, так как компоненты векторов положения и импульса частицы представлялись бы попарно коммутирующими наблюдаемыми. В действительности коммутаторы отличны от нуля

что ограничивает точность такого описания, ибо соотношения неопределенности делают невозможным одновременное определение координаты и импульса частицы. Поскольку динамическое состояние системы представляется волновой функцией, самое лучшее, что можно сделать на этом пути — это построить минимизирующий волновой пакет, для которого . В классическом приближении мы приписываем каждой частице координату и импульс, равные средним значениям этих величин в соответствующем квантовом состоянии, полностью пренебрегая всеми флуктуациями около средних значений. Для получения удовлетворительных результатов необходимо:

а) чтобы указанные средние значения в хорошем приближении следовали классическим законам движения;

б) чтобы пространственная протяженность волнового пакета была мала по сравнению с характерной длиной рассматриваемой задачи и оставалась таковой с течением времени.

Этот подход станет предметом обсуждения двух последующих параграфов. Мы увидим, что, исключая некоторые особые случаи, сопоставляемый частице волновой пакет с течением времени «расплывается» и через достаточно большой промежуток времени может занимать сколь угодно значительную область пространства. Поэтому полученный классический образ частицы приемлем только на конечных интервалах времени.

Другой подход основан на отождествлении квантовой системы со статистическим ансамблем классических систем. Точнее, с помощью волновой функции определяется классический статистический ансамбль, плотность которого в каждой точке пространства конфигураций равна плотности вероятности присутствия в данной точке квантовой системы, а затем доказывается, что в пределе эволюция этого ансамбля подчиняется законам классической механики. Этот подход мы рассмотрим в § 4. С математической точки зрения эта

формулировка классического приближения имеет ряд преимуществ, так как уравнения классической механики при этом подходе получаются как предельный случай уравнения Шредингера; условия применимости этого приближения совпадают с условиями справедливости приближения геометрической оптики.

Классическое приближение тесно связано с одним методом приближенного решения уравнения Шредингера, известного как метод ВКБ и применимого, когда уравнение Шредингера может быть заменено своим классическим пределом всюду, кроме некоторых областей пространства около сингулярных точек. Метод ВКБ излагается во втором разделе этой главы.