Раздел II. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

§ 8. Оператор эволюции и уравнение Шредингера

Мы хорошо знаем, что на микроскопическом уровне нельзя четко отделить физическую систему от измерительного аппарата, поэтому эволюция квантовой системы, подвергнутой некоторому измерению, перестает быть каузальной. Напротив, эволюция системы, изолированной от всяких внешних воздействий, может быть точно предсказана. Пусть - кет-вектор,

представляющий динамическое состояние системы в момент времени тогда кет-вектор представляющий состояние в некоторый последующий момент вполне определяется заданием если, что мы и будем предполагать в дальнейшем, система не подвергается измерению в промежуток времени . В данном параграфе мы изучим этот фундаментальный закон эволюции системы.

В первую очередь постулируем, что линейная суперпозиция состояний сохраняется во времени. Отсюда следует, что соответствие между является линейным и определяет некоторый линейный оператор который называется оператором эволюции

Если система консервативна, т. е. ее энергия, представляемая гамильтонианом Н, явно не зависит от времени, то оператор можно найти, если потребовать, чтобы движение системы с энергией Е было периодическим и чтобы соответствующая (круговая) частота выражалась законом Эйнштейна

Действительно, поскольку пространство натянуто на собственные векторы Н, для определения оператора достаточно знать его действие на каждый из этих векторов. Пусть есть собственный вектор Н, соответствующий энергии Е

В согласии с законом Эйнштейна постулируем, что эволюция вектора во времени определяется формулой

или, учитывая уравнение (30),

Следовательно,

Дифференцируя обе части этого уравнения по получаем

дифференциальное уравнение

при этом есть решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

Обобщая этот результат, принимаем, что оператор удовлетворяет уравнению (32) и начальному условию (33) даже, когда квантовая система не является консервативной. В последнем случае оператор Н явно зависит от времени, поэтому, разумеется, соотношение (29) теряет всякий смысл и оператор более не выражается формулой (31).

Отметим, что может быть определен также интегральным уравнением

Уравнения (32)-(33) или интегральное уравнение (34) выражают фундаментальный закон эволюции квантовой системы. Эквивалентным выражением этого закона является уравнение Шредингера или дифференциальное уравнение эволюции динамических состояний системы. Это уравнение можно получить, дифференцируя почленно уравнение (28)

и подставляя вместо выражение (32). Находим

Чтобы норма вектора оставалась постоянной во времени необходимо и достаточно, чтобы оператор Я был эрмитовым; это легко показать, исходя из уравнения Шредингера. Эрмитовость гамильтониана, естественно, всегда предполагается.

Заметим, что поскольку эрмитов, оператор унитарен. Когда не зависит от времени, это непосредственно следует из выражения (31). Но даже если явно зависит от времени, имеем согласно уравнению Шредингера

Поскольку Н — эрмитов оператор, оператор

является инфинитезимальным унитарным оператором (см. § VII. 22): переход от кет-вектора в момент времени к кет-вектору в момент времени осуществляется с помощью инфинитезимального унитарного преобразования. Преобразование переводящее есть, следовательно, последовательность инфинитезимальных унитарных преобразований; тогда как произведение инфинитезимальных унитарных операторов, является унитарным оператором.