§ 6. Собственные функции связанных состояний

Собственные функции, принадлежащие уровню энергии являются линейными комбинациями линейно независимых функций. Результаты § 4 дают нам собственных ортогональных функций, принадлежащих заданным значениям момента

импульса. Так, волновая функция квантового состояния записывается в виде

где

а — постоянная нормировки. Норму можно вычислить, воспользовавшись производящей функцией полиномов Лагерра (Б.15). Норма будет равна 1, если взять

Поучительно найти средние значения последовательных степеней в квантовом состоянии Мы не будем здесь производить подробных вычислений (задача 1), результаты даны в дополнении Б, § 3. В частности, имеем

Следовательно, электрон в среднем находится тем дальше от протона, чем больше . Для основного состояния находим в согласии с грубой оценкой § 3.

Когда I принимает свое наибольшее значение волновая функция имеет особенно простой вид: это есть произведение на радиальную функцию

Среднее значение в этом состоянии равно

в согласии с общей формулой, приведенной выше. Аналогичное вычисление дает:

откуда получаем выражение для радиального среднего квадратичного отклонения:

При очень больших значениях величина становится малой, так что электрон оказывается практически локализованным вблизи сферы радиуса в то время как энергия уровня

совпадает с энергией классического электрона на круговой орбите радиуса .

Этот частный пример подтверждает общее правило соответствия, по которому в пределе больших квантовых чисел должны быть справедливы классические законы движения. Чтобы детально сравнивать результаты квантовой и классической теорий, следует исследовать движение волновых пакетов. Мы не будем здесь проводить этого исследования. Ограничимся указанием того, что состояния с максимальным соответствуют классическим круговым орбитам; это следует сравнивать с результатом старой квантовой теории, согласно которой эксцентриситет квантованных орбит равен и обращается в нуль, когда принимает свое наибольшее значение (см. стр. 47).