§ 5. Эффект Комптона

Эффект Комптона является другим подтверждением теории фотонов в ущерб волновой теории. Этот эффект наблюдается (Комптон, 1924 г.) при рассеянии рентгеновских лучей свободными (или слабо связанными) электронами. Длина волны рассеянного излучения превосходит длину волны падающего излучения; зависимость разности длин волн от угла между направлением падающей волны и направлением наблюдения рассеянного излучения выражается формулой Комптона

где есть масса покоя электрона. Отметим, что не зависит от длины волны падающего излучения. Комптон и Дебай показали, что явление Комптона является результатом упругого столкновения между фотоном падающего излучения и одним из электронов облучаемой мишени.

Чтобы обсудить корпускулярное объяснение эффекта, следует уточнить некоторые свойства фотонов, непосредственно вытекающие из гипотезы Эйнштейна. Поскольку фотоны движутся со скоростью света с, их масса покоя равна нулю. Импульс и энергия фотона связаны поэтому соотношением

Рассмотрим плоскую монохроматическую световую волну , где и есть единичный вектор в направлении распространения волны, — длина волны, — частота; . В согласии с гипотезой Эйнштейна эта волна представляет собой пучок фотонов с энергией Импульс этих фотонов, естественно, имеет направление и, а его абсолютное значение, согласно (3), равно

Это соотношение есть частный случай соотношения де Бройля, с которым мы встретимся в гл. II. Часто бывает удобно ввести круговую частоту и волновой вектор плоской волны. Тогда полученные соотношения запишутся в виде:

Корпускулярная теория эффекта Комптона основана на законах сохранения энергии и импульса при упругом столкновении фотона и электрона. Пусть — начальный и конечный импульсы фотона соответственно, Р — импульс отдачи электрона после столкновения (рис. 2). Уравнения сохранения записываются в виде:

Эти уравнения позволяют полностью описать столкновение, если известны начальные условия и направление излучения рассеянного фотона. Учитывая соотношения (4), нетрудно вывести формулу Комптона, которая, таким образом, оказывается теоретически обоснованной (см. задачу 1). Начиная с первых работ Комптона, все остальные предсказания теории были экспериментально подтверждены. Наблюдались и электроны отдачи, причем закон изменения их энергии в зависимости от угла оказался именно таким, каким его дают уравнения (I). Эксперименты на совпадении показали, что испускание рассеянного фотона и электрона отдачи происходят одновременно, а связь между углами соответствует предсказаниям теории.

Рис. 2. Комптоновское рассеяние фотона на покоящемся электроне.

Полезно сопоставить эти результаты с предсказаниями классической теории. Теория Максвелла—Лоренца предсказывает поглощение части падающей электромагнитной энергии каждым электроном в поле излучения и ее последующее испускание в виде излучения той же частоты. В отличие от поглощаемой радиации полный импульс испускаемого излучения равен нулю. Процесс рассеяния света сопровождается, таким образом, непрерывной передачей импульса (давление излучения) от падающей радиации к облучаемому электрону, который поэтому испытывает ускорение в направлении падающей волны. Закон поглощения и эмиссии радиации с одной частотой справедлив в системе отсчета, где электрон покоится. Как только электрон приходит в движение, частоты, наблюдаемые в лабораторной системе, изменяются вследствие эффекта Доплера. Изменение длины волны зависит от угла, под которым мы наблюдаем рассеянное излучение. Простое вычисление дает

где — длина волны падающего излучения, — импульс электрона, — его энергия. Таким образом, растет с ростом и регулярно увеличивается в процессе облучения.

Мы видим, что классические предсказания не согласуются с экспериментальными фактами. Главный недостаток классической теории эффекта Комптона состоит в предположении о непрерывной передаче импульса и энергии излучения всем электронам, подверженным радиации, в то время как наблюдаемые

факты указывают, что энергия передается дискретным образом только некоторым из них. Эта трудность той же природы, что и в случае фотоэлектрического эффекта. Оба явления, вообще говоря, довольно схожи: комптоновское рассеяние может рассматриваться как поглощение света, сопровождаемое его повторной эмиссией, в то время как фотоэлектрический эффект есть чистое поглощение.

Введение квантов света необходимо, если надлежит учесть дискретный характер процессов передачи импульса и энергии электронам. Тем не менее, сходство формул (5) и (2) для эффекта Комптона указывает, что классическая теория все же имеет некоторое отношение к реальности. Этот вопрос заслуживает более глубокого изучения.

Формула Комптона была получена выше в предположении, что электрон первоначально покоился. Но теория остается, конечно, справедливой, если первоначальная скорость электрона отлична от нуля. Нетрудно обобщить уравнения (I) и формулу Комптона на этот случай. Если электрон в начальный момент движется параллельно падающей волне с импульсом Р и энергией то нетрудно получить (см. задачу 1)

Легко заметить сходство этой формулы и классического выражения (5) для смещения Вместо импульса в числителе формула (6) содержит величину (она имеет порядок величины импульса после столкновения фотона с электроном), а в знаменателе вместо стоит Р, т. е. импульс электрона до столкновения. Однако механизм процесса, отражаемый формулой (6), существенно отличается от классического. Под действием облучения каждый электрон получает первый толчок, сопровождаемый передачей импульса и приводящий его в движение, затем второй толчок и т. д. Передаваемые импульсы изменяются от столкновения к столкновению, но величины передаваемого импульса колеблются около некоторого среднего значения, приближенно равного импульсу падающих фотонов. Именно этот процесс скачкообразного изменения импульса на величину порядка и результирующего изменения мы можем сравнить с классическим механизмом непрерывного изменения величин (рис. 3).

Подобное сравнение имеет смысл, конечно, только в предельном случае, когда величина квантов энергии может считаться бесконечно малой, а число их — бесконечно большим, и мы рассматриваем результирующий средний эффект от очень большого числа последовательных столкновений. Поскольку

электрон при каждом столкновении получает импульс, по порядку величины равный и при большом числе столкновений флуктуационные отклонения от среднего значения компенсируются, то результирующий эффект будет таким, как если бы электрон при каждом столкновении получал в точности этот средний импульс Тогда импульс электрона Р будет скачкообразно увеличиваться в направлении падающего излучения. Скачки импульса оказываются порядка величины кванта и если величина достаточно мала, то изменение импульса будет практически непрерывным. Таким образом, в указанном приближении можно рассматривать некоторый средний импульс непрерывно изменяющийся с течением времени. Экспериментальное исследование, на деталях которого мы не будем здесь останавливаться, показывает, что изменение этого среднего импульса во времени оказывается именно таким, как это предсказывает классическая теория; иными словами, векторы оказываются равными друг другу в любой момент времени. Кроме того, поскольку классическая величина определяемая с точностью до в каждый момент времени равна среднему значению Р, то смещение Комптона, предсказываемое классической теорией (уравнение (5)), в каждый момент времени равно усредненному значению действительно наблюдаемого смещения Комптона (уравнение (6)).

Рис. 3. Изменение во времени импульса Р электрона под воздействием монохроматического излучения в результате последовательных столкновений Комптона (это крайне схематическая картина явления, границы которой будут обсуждаться в гл. IV в связи с соотношениями неопределенности). Пунктиром указана функция предсказываемая классической теорией.