§ 5. Рассеяние волнового пакета на потенциале

В предполагаемых условиях эволюция волновых пакетов падающего пучка практически не зависит от их конкретной формы. Будем считать, что все они имеют одинаковую форму, причем каждый характеризуется параметрами которые определяют движение центра пакета. Примем за начало отсчета времени что не ограничивает общности рассуждений. Для определения формы падающего пакета введем функцию с единичной нормой

Пусть — фурье-образ этой функции, так что

По предположению — вещественная функция, принимающая существенно отличные от нуля значения, когда находится вблизи точки в области с продольными размерами и поперечными размерами Функция также вещественная и отлична от нуля в области с продольными размерами и поперечными размерами вблизи точки Для упрощения будем считать, что .

Задолго до столкновения исследуемый нами волновой пакет тождествен волновому пакету для свободной частицы центр которого движется по закону

а форма в момент времени выражается формулой

В момент времени

Если пренебречь расплыванием, то свободный волновой пакет может быть представлен выражением (см. § XIII. 18)

которое получается, если в (12) заменить энергию двумя первыми членами ее разложения по степеням

Волновой пакет получится, если вместо плоской волны в подынтегральном выражении формулы (12) мы подставим стационарную волну рассеяния:

Это выражение является решением уравнения Шредингера, так как представляет собой суперпозицию решений этого уравнения. Нам достаточно показать, что до столкновения это выражение тождественно свободному волновому пакету

Поскольку функция имеет острый максимум вблизи точки вклад в интеграл дает только малая область около этой точки. Когда фаза подынтегрального выражения ввиду присутствия экспотенциального фактора быстро изменяется именно в этой области, и интеграл практически равен нулю, кроме тех значений при которых фаза оказывается стационарной. Это может иметь место только для порядка иначе говоря для тех областей пространства конфигураций, где может быть заменена своей асимптотической формой

Подставляя это выражение в интеграл (14), находим

где

при фаза подынтегрального выражения не может быть сделана стационарной в области и интеграл практически равен нулю, каким бы ни было Волновой пакет, таким образом, в этом пределе действительно совпадает со свободным волновым пакетом.

Исследуем теперь эволюцию волнового пакета в зоне детектирования . В этой области пространства подстановка асимптотической формы (15) несомненно оправдана, выражение (16) вновь обретает силу.

Мы предположим, что дисперсии по направлению и энергии столь малы, что остается практически постоянной в области с размерами около точки и что в интеграле (17) модуль можно заменить его значением в точке а фазу этой функции — двумя первыми членами разложения:

Фазы других сомножителей также заменим двумя первыми членами разложения вблизи

( — единичный вектор в направлении начальной скорости). Тогда вычисление по методу стационарной фазы приводит нас к результату, аналогичному формуле (13) для случая

Поведение функции существенно зависит от величины прицельного параметра

Если то аргумент функции все время находится в области, где значение этой функции пренебрежимо мало: все время остается практически равной нулю, волновой пакет движется как свободный.

Если , т. е. если падающий волновой пакет попадает в зону эффективного действия потенциала, то функция существенно отлична от нуля в сферическом слое толщины I по обе стороны сферы Функция практически равная нулю до столкновения, после столкновения представляет собой пакет сферических волн, расходящихся из центра с радиальной скоростью . При волна достигает зоны детектирования, к этому моменту она уже полностью отделена от проходящей волны по всем направлениям, кроме направления вперед где эти две волны оказываются сравнимыми по величине и могут интерферировать. Мы приходим к качественным результатам, изложенным в § 4.