§ 10. Классический и квантовый осцилляторы

В целях иллюстрации соответствия между классической и квантовой механиками сравним в этом и следующем параграфах законы движения классического и квантового осцилляторов.

Общее решение уравнений движения классического гармонического осциллятора можно записать в виде:

Это чисто синусоидальное колебательное движение с (круговой) частотой со. Закон движения зависит от двух параметров А и Энергия осциллятора связана с амплитудой колебания А соотношением

Если фиксировать энергию то различные возможные движения отличаются фазовым сдвигом

Пусть — некоторая динамическая переменная системы. Будучи функцией она периодически (но не обязательно синусоидально) изменяется во времени с частотой . Закон изменения для двух возможных движений с одной и той же энергией одинаков с точностью до фазового сдвига. Среднее взятое по всем возможным движениям с одинаковой энергией (микроканонический ансамбль), получается путем усреднения по сдвигам фаз; не зависит от времени и равно среднему по периоду от значений, принимаемых в течение одного периода. В частности, находим

(средняя кинетическая и средняя потенциальная энергия осциллятора равны друг другу).

Сравним эти результаты с поведением квантового осциллятора в стационарном состоянии. В состоянии квантовый осциллятор имеет определенную и постоянную во времени энергию: Напротив, наблюдаемые положения и импульса не имеют определенных значений; можно только определить статистическое распределение результатов измерения той или иной из этих величин. Поскольку состояние стационарно, эти статистические распределения постоянны во времени. В частности, средние значения равны соответствующим диагональным элементам матриц представления

Средние значения вычисляются без труда, если выразить эти операторы через а и а+ (уравнения (24)-(25)) и использовать соотношения (17—19). Получаем

Принцип соответствия требует (см. задачу 4), чтобы в пределе выражения для средних значений (42) — (44) переходили соответственно в классические выражения (39) — (41) для того же значения энергии . Тот факт, что искомое равенство осуществляется при любых значениях является свойством, характерным именно для гармонического осциллятора.

Заметим, между прочим, что в состоянии

в согласии с соотношениями неопределенности координата-импульс.