§ 22. Унитарные преобразования операторов и векторов

Матрица введенная в предшествующем параграфе, не представляет никакого оператора. Матрица, представляющая некоторый оператор, определена в заданном представлении, время как матрица преобразования зависит как бы сразу от двух представлений. Это хорошо видно на примере, разобранном выше, ибо матрица не является квадратной.

Тем не менее в некоторых случаях может оказаться, что существует взаимооднозначное соответствие между базисным»:

векторами двух разных представлений. В этом случае векторы обеих базисных систем нумеруются одной системой индексов. Рассмотрим, например, представление с базисной системой нумеруемой дискретным индексом и представление с базисной системой нумеруемой тем же самым индексом. Два кет-вектора нумеруемые одним индексом, как-то соответствуют один другому. Пусть это соответствие выражается оператором

Тогда

и

поэтому, учитывая условия ортонормированности получаем

Следовательно, есть унитарный оператор. Вообще же унитарная матрица определяющая переход от представления к представлению есть матрица, представляющая в представлении

В том случае когда можно построить унитарный оператор можно определить операцию, которая является в некотором смысле дополнительной к операции изменения представления. Вместо того чтобы преобразовывать базисную систему в новую базисную систему векторы которой даются уравнением

можно осуществить преобразование самих векторов и операторов пространства , поставив в соответствие каждому вектору вектор а каждому оператору А — оператор

Ввиду того что оператор унитарен, очевидно, что преобразование сохраняет соотношения сопряжения и уравнения между векторами и операторами. В частности:

а) сохраняется скалярное произведение:

б) сохраняется эрмитовость.

Если А — наблюдаемая, то А есть наблюдаемая с тем же спектром собственных значений, ибо уравнение на собственные значения

переходит в уравнение

Собственные кет-векторы А, принадлежащие заданному собственному значению а, являются преобразованными собственными кет-векторами А, принадлежащими тому же собственному значению. Заметим, что матрица, представляющая А в совпадает с той, которая представляет А в Аналогично вектор имеет в те же компоненты, что и вектор

Произвести последовательно два преобразования с операторами и V значит то же самое, что произвести одно преобразование с оператором Поскольку оператор унитарен, результирующее преобразование будет унитарным. Иными словами, произведение двух унитарных преобразований есть унитарное преобразование.

Если оператор определяющий унитарное преобразование, «бесконечно близок» единице, то преобразование называется инфинитезимальным. Оператор принимает вид

где есть бесконечно малое вещественное число. Условие унитарности (91) принимает вид

или, сохраняя только члены первого порядка по Следовательно, оператор эрмитов.

При инфинитезимальном преобразовании векторы и операторы преобразуются по формулам

или

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)